Respuesta:
Para hallar las expresiones de \( x(t) \) y \( v(t) \) para una partícula que se mueve con una aceleración \( a(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \) m/s², podemos seguir los siguientes pasos:
1. **Encontrar la velocidad \( v(t) \) mediante integración de la aceleración \( a(t) \):**
\[ a(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
Integrando \( a(t) \) con respecto al tiempo \( t \), obtenemos la velocidad \( v(t) \):
\[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 2 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \, dt \]
Para resolver esta integral, utilizamos la sustitución \( u = \frac{\pi t}{2} \) \(\Rightarrow du = \frac{\pi}{2} dt \) \(\Rightarrow dt = \frac{2}{\pi} du \):
\[ v(t) = \int 2 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \, dt = 2 \int \cos(u) \frac{2}{\pi} \, du = \frac{4}{\pi} \int \cos(u) \, du = \frac{4}{\pi} \sin(u) + C_1 \]
Revirtiendo la sustitución \( u = \frac{\pi t}{2} \):
\[ v(t) = \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) + C_1 \]
Dado que en \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \):
\[ 0 = \frac{4}{\pi} \sin\left(0\right) + C_1 \]
\[ C_1 = 0 \]
Por lo tanto, la expresión para \( v(t) \) es:
\[ v(t) = \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
2. **Encontrar la posición \( x(t) \) mediante integración de la velocidad \( v(t) \):**
\[ v(t) = \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
Integrando \( v(t) \) con respecto al tiempo \( t \), obtenemos la posición \( x(t) \):
\[ x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) \, dt \]
Utilizamos nuevamente la sustitución \( u = \frac{\pi t}{2} \) \(\Rightarrow du = \frac{\pi}{2} dt \) \(\Rightarrow dt = \frac{2}{\pi} du \):
\[ x(t) = \int \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) \, dt = \frac{4}{\pi} \int \sin(u) \frac{2}{\pi} \, du = \frac{8}{\pi^2} \int \sin(u) \, du = -\frac{8}{\pi^2} \cos(u) + C_2 \]
Revirtiendo la sustitución \( u = \frac{\pi t}{2} \):
\[ x(t) = -\frac{8}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) + C_2 \]
Dado que en \( t = 0 \), \( x(0) = -\frac{8}{\pi^2} \):
\[ -\frac{8}{\pi^2} = -\frac{8}{\pi^2} \cos(0) + C_2 \]
\[ -\frac{8}{\pi^2} = -\frac{8}{\pi^2} + C_2 \]
\[ C_2 = 0 \]
Por lo tanto, la expresión para \( x(t) \) es:
\[ x(t) = -\frac{8}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
### Resumen
Las expresiones de la posición \( x(t) \) y la velocidad \( v(t) \) son:
\[ v(t) = \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
\[ x(t) = -\frac{8}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \]
