Respuesta:
1. Para saber desde qué altura se suelta la pelota, basta con evaluar la función en \( t = 0 \):
\[ h(0) = -5(0)^2 + 30(0) + 35 = 35 \]
Entonces, la pelota se suelta desde una altura de 35 metros.
2. Para conocer la altura después de un segundo, evaluamos la función en \( t = 1 \):
\[ h(1) = -5(1)^2 + 30(1) + 35 = -5 + 30 + 35 = 60 \]
Después de un segundo, la pelota se encuentra a una altura de 60 metros.
3. La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola, donde la derivada es igual a cero. La ecuación del vértice se obtiene mediante la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 30 \):
\[ t = -\frac{30}{2(-5)} = 3 \]
Para encontrar la altura máxima, sustituimos \( t = 3 \) en la función:
\[ h(3) = -5(3)^2 + 30(3) + 35 = -45 + 90 + 35 = 80 \]
Entonces, la altura máxima alcanzada es de 80 metros.
4. Para encontrar en qué momento la pelota está a 5 metros de altura, igualamos la función a 5 y resolvemos la ecuación cuadrática:
\[ -5t^2 + 30t + 35 = 5 \]
\[ -5t^2 + 30t + 30 = 0 \]
Utilizando la fórmula cuadrática, obtenemos:
\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4(-5)(30)}}{2(-5)} \]
\[ t \approx \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 600}}{-10} \]
\[ t \approx \frac{-30 \pm \sqrt{1500}}{-10} \]
\[ t \approx \frac{-30 \pm 38.73}{-10} \]
\[ t_1 \approx \frac{-30 + 38.73}{-10} \]
\[ t_1 \approx \frac{8.73}{-10} \]
\[ t_1 \approx -0.873 \]
\[ t_2 \approx \frac{-30 - 38.73}{-10} \]
\[ t_2 \approx \frac{-68.73}{-10} \]
\[ t_2 \approx 6.873 \]
Redondeando a tres decimales, la pelota está a 5 metros de altura aproximadamente después de \( t \approx 0.873 \) segundos.
5. Para saber cuántos segundos tarda en tocar el suelo, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación cuadrática:
\[ -5t^2 + 30t + 35 = 0 \]
Utilizando la fórmula cuadrática, obtenemos:
\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4(-5)(35)}}{2(-5)} \]
\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 700}}{-10} \]
\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{1600}}{-10} \]
\[ t = \frac{-30 \pm 40}{-10} \]
\[ t_1 = \frac{-30 + 40}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \]
\[ t_2 = \frac{-30 - 40}{-10} = \frac{-70}{-10} = 7 \]
La pelota tarda 7 segundos en tocar el suelo.
6. La pelota toca el suelo en \( t = 7 \) segundos.
