Para resolver el problema, usaremos conceptos de geometría analítica y cálculo. Queremos maximizar el área de un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 50 m y 120 m. El rectángulo tendrá dos lados contenidos en los catetos y uno de sus vértices estará en la hipotenusa.
Primero, observemos que podemos colocar el triángulo en el plano coordenado con los vértices en (0,0), (120,0) y (0,50) .
La ecuación de la hipotenusa, usando la forma general de la ecuación de una recta y = mx + b, puede encontrarse considerando que pasa por los puntos (120, 0) y (0, 50) . El pendiente m de la hipotenusa es:
[tex]m = \frac{50 - 0}{0 - 120} = - \frac{50}{120} = - \frac{5}{12} [/tex]
Entonces, la ecuación de la hipotenusa es:
[tex]y = - \frac{5}{12} x + 50[/tex]
Ahora, designemos x y y como las longitudes de los lados del rectángulo inscritos en los catetos, de modo que el área A del rectángulo sea A = x • y .
Dado que el vértice del rectángulo está en la hipotenusa, si una de las coordenadas del vértice es (x, y) , entonces debemos tener y = 5/12 + 50. Sustituimos esta relación en el área:
[tex]\[ A = x \left(-\frac{5}{12}x + 50\right) = -\frac{5}{12}x^2 + 50x \][/tex]
Para encontrar el valor máximo de A , derivamos A respecto a x y encontramos el punto crítico.
[tex]\[ \frac{dA}{dx} = -\frac{5}{6}x + 50 \][/tex]
Igualamos la derivada a cero para encontrar el máximo:
[tex]\[ -\frac{5}{6}x + 50 = 0 \][/tex]
Despejando x :
[tex]\[ -\frac{5}{6}x = -50 \] \\ \[ x = 50 \cdot \frac{6}{5} \] \\ \[ x = 60 \][/tex]
Sustituyendo x = 60 en la ecuación de la hipotenusa para encontrar y :
[tex]\[ y = -\frac{5}{12} \cdot 60 + 50 \] \\ \[ y = -25 + 50 \] \\
\[ y = 25 \][/tex]
Así, el área máxima del rectángulo es:
[tex][ A = x \cdot y = 60 \cdot 25 = 1500 \, \text{m}^2 \][/tex]
Por lo tanto, el área máxima del rectángulo inscrito es:
[tex]\[ \boxed{1500 \, \text{m}^2} \][/tex]
¡ESPERO QUE TE SIRVA!
