Respuesta :
Respuesta:
Claro, podemos resolver el problema usando las variables \( x \) y \( y \) para representar el dinero que llevaba cada uno. Aquí está el proceso:
1. **Definir las variables:**
- Sea \( x \) la cantidad de dinero que llevaba Carlos.
- Sea \( y \) la cantidad de dinero que llevaba Gabriel.
2. **Plantear las ecuaciones:**
- Sabemos que Carlos y Gabriel juntos llevaban 500:
\[
x + y = 500
\]
- Carlos gastó dos terceras partes de su dinero, por lo que regresó con una tercera parte de \( x \):
\[
\text{Dinero restante de Carlos} = \frac{1}{3}x
\]
- Gabriel gastó tres quintas partes de su dinero, por lo que regresó con dos quintas partes de \( y \):
\[
\text{Dinero restante de Gabriel} = \frac{2}{5}y
\]
- Juntos regresaron con 180:
\[
\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y = 180
\]
3. **Resolver el sistema de ecuaciones:**
Tenemos las siguientes dos ecuaciones:
\[
x + y = 500
\]
\[
\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y = 180
\]
4. **Eliminar fracciones en la segunda ecuación:**
Multiplicamos toda la ecuación por 15 (el mínimo común múltiplo de 3 y 5) para eliminar las fracciones:
\[
15 \left( \frac{1}{3}x \right) + 15 \left( \frac{2}{5}y \right) = 15 \times 180
\]
\[
5x + 6y = 2700
\]
5. **Sistema de ecuaciones simplificado:**
Ahora tenemos:
\[
x + y = 500
\]
\[
5x + 6y = 2700
\]
6. **Resolver el sistema:**
Multiplicamos la primera ecuación por 5 para facilitar la eliminación:
\[
5(x + y) = 5 \times 500
\]
\[
5x + 5y = 2500
\]
Luego restamos esta ecuación de la segunda ecuación:
\[
(5x + 6y) - (5x + 5y) = 2700 - 2500
\]
\[
5x + 6y - 5x - 5y = 200
\]
\[
y = 200
\]
Sustituimos \( y = 200 \) en la primera ecuación:
\[
x + 200 = 500
\]
\[
x = 300
\]
7. **Conclusión:**
Carlos llevaba 300 y Gabriel llevaba 200 al ir al supermercado.
\] significa espació no es importante