Respuesta :
Respuesta: es de aproximadamente **626.73 metros**.
Explicación:Para resolver este problema, primero calculamos la velocidad con la que el cuerpo llega a la superficie del benceno, luego aplicamos las leyes de la física para determinar la distancia que recorre dentro del benceno antes de detenerse.
### Paso 1: Calcular la velocidad de impacto
Utilizamos la ecuación de la energía cinética y potencial para calcular la velocidad del cuerpo justo antes de impactar el benceno.
La energía potencial \( E_p \) en la altura de 78.4 m se convierte en energía cinética \( E_k \) justo antes del impacto.
\[ E_p = E_k \]
\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \]
La masa se cancela, por lo que:
\[ gh = \frac{1}{2}v^2 \]
Despejamos la velocidad \( v \):
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Sustituyendo \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) y \( h = 78.4 \, \text{m} \):
\[ v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 78.4} \]
\[ v = \sqrt{1534.72} \]
\[ v \approx 39.18 \, \text{m/s} \]
### Paso 2: Calcular la fuerza de flotación y aceleración
Densidad del cuerpo (\( \rho_c \)):
\[ \rho_c = 0.8 \, \text{g/cm}^3 = 800 \, \text{kg/m}^3 \]
Densidad del benceno (\( \rho_b \)):
\[ \rho_b = 0.9 \, \text{g/cm}^3 = 900 \, \text{kg/m}^3 \]
La fuerza de flotación \( F_b \) es:
\[ F_b = \rho_b V g \]
Donde \( V \) es el volumen del cuerpo:
\[ V = 1000 \, \text{cm}^3 = 0.001 \, \text{m}^3 \]
\[ F_b = 900 \cdot 0.001 \cdot 9.8 \]
\[ F_b = 8.82 \, \text{N} \]
El peso del cuerpo \( F_g \) es:
\[ F_g = \rho_c V g \]
\[ F_g = 800 \cdot 0.001 \cdot 9.8 \]
\[ F_g = 7.84 \, \text{N} \]
La fuerza neta \( F_{net} \) actuando sobre el cuerpo en el benceno es:
\[ F_{net} = F_g - F_b \]
\[ F_{net} = 7.84 - 8.82 \]
\[ F_{net} = -0.98 \, \text{N} \]
La aceleración neta \( a_{net} \) es:
\[ a_{net} = \frac{F_{net}}{m} \]
La masa del cuerpo \( m \) es:
\[ m = \rho_c V \]
\[ m = 800 \cdot 0.001 \]
\[ m = 0.8 \, \text{kg} \]
\[ a_{net} = \frac{-0.98}{0.8} \]
\[ a_{net} = -1.225 \, \text{m/s}^2 \]
### Paso 3: Calcular la distancia recorrida
Utilizamos la ecuación de movimiento:
\[ v^2 = u^2 + 2a s \]
Donde \( v = 0 \, \text{m/s} \) (velocidad final), \( u = 39.18 \, \text{m/s} \) (velocidad inicial), \( a = -1.225 \, \text{m/s}^2 \), y \( s \) es la distancia recorrida.
Despejamos \( s \):
\[ 0 = (39.18)^2 + 2(-1.225)s \]
\[ 0 = 1535.47 - 2.45s \]
\[ 2.45s = 1535.47 \]
\[ s = \frac{1535.47}{2.45} \]
\[ s \approx 626.73 \, \text{m} \]
Por lo tanto, la distancia que logra recorrer el cuerpo dentro del benceno hasta detenerse es de aproximadamente **626.73 metros**.