Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para resolver el problema, vamos a utilizar el principio de inclusión-exclusión. Vamos a definir los siguientes conjuntos:
- \( A \): personas que compraron artículos para el hogar.
- \( B \): personas que compraron prendas de vestir.
- \( C \): personas que compraron juguetes.
Nos dan las siguientes cantidades:
- \(|A| = 275\)
- \(|B| = 400\)
- \(|C| = 550\)
- \(|A \cap B| = 150\)
- \(|A \cap C| = 110\)
- \(|B \cap C| = 250\)
- \(|A \cap B \cap C| = 100\)
### (a) ¿Qué porcentaje de personas no usaron su crédito en ninguna de esas categorías?
Para encontrar el número de personas que no usaron su crédito en ninguna de las categorías, necesitamos encontrar \(|A \cup B \cup C|\), que es el número de personas que usaron su crédito en al menos una de las categorías.
Utilizamos la fórmula de inclusión-exclusión para tres conjuntos:
\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]
Sustituimos los valores:
\[
|A \cup B \cup C| = 275 + 400 + 550 - 150 - 110 - 250 + 100 = 815
\]
Entonces, el número de personas que no usaron su crédito en ninguna de las categorías es:
\[
1000 - 815 = 185
\]
El porcentaje de personas que no usaron su crédito en ninguna de las categorías es:
\[
\left( \frac{185}{1000} \right) \times 100 = 18.5\%
\]
### (b) ¿Qué porcentaje de personas utilizaron su crédito solo para comprar prendas de vestir?
Para encontrar el número de personas que solo compraron prendas de vestir, usamos la siguiente fórmula:
\[
|B - (A \cup C)| = |B| - |B \cap A| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]
Sustituimos los valores:
\[
|B - (A \cup C)| = 400 - 150 - 250 + 100 = 100
\]
El porcentaje de personas que solo compraron prendas de vestir es:
\[
\left( \frac{100}{1000} \right) \times 100 = 10\%
\]
### (c) ¿Qué porcentaje de personas utilizaron su crédito solo para comprar artículos para el hogar?
Para encontrar el número de personas que solo compraron artículos para el hogar, usamos la siguiente fórmula:
\[
|A - (B \cup C)| = |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]
Sustituimos los valores:
\[
|A - (B \cup C)| = 275 - 150 - 110 + 100 = 115
\]
El porcentaje de personas que solo compraron artículos para el hogar es:
\[
\left( \frac{115}{1000} \right) \times 100 = 11.5\%
\]
### (d) ¿Qué porcentaje de personas utilizaron su crédito solo para comprar juguetes?
Para encontrar el número de personas que solo compraron juguetes, usamos la siguiente fórmula:
\[
|C - (A \cup B)| = |C| - |C \cap A| - |C \cap B| + |A \cap B \cap C|
\]
Sustituimos los valores:
\[
|C - (A \cup B)| = 550 - 110 - 250 + 100 = 290
\]
El porcentaje de personas que solo compraron juguetes es:
290}{1000} \times 100 = 29\%
Resumiendo, los resultados son:
1. El 18.5% de personas no usaron su crédito en ninguna de las categorías.
2. El 10% de personas usaron su crédito solo para comprar prendas de vestir.
3. El 11.5% de personas usaron su crédito solo para comprar artículos para el hogar.
4. El 29% de personas usaron su crédito solo para comprar juguetes.
