Para encontrar los puntos de intersección entre los dos planos dados, necesitamos resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones formado por los dos planos. Los planos dados son:
1) 2x - y - z = 3
2) x + 2y + 3z = 7
Primero, reescribimos los dos planos en forma matricial:
Plano 1:
[2 -1 -1] [x] [3]
[y] =
[z]
Plano 2:
[1 2 3] [x] [7]
[y] =
[z]
Ahora, expresamos el sistema de ecuaciones como una matriz aumentada y aplicamos eliminación de Gauss-Jordan para encontrar las soluciones:
[2 -1 -1 | 3]
[1 2 3 | 7]
Restamos la fila 1 multiplicada por 1/2 a la fila 2:
[2 -1 -1 | 3]
[0 5/2 7/2 | 5/2]
Multiplicamos la fila 2 por 2/5 para simplificar:
[2 -1 -1 | 3]
[0 5 7 | 5]
Ahora, multiplicamos la fila 2 por 1/5 para tener un coeficiente de y igual a 1:
[2 -1 -1 | 3]
[0 1 7/5 | 1]
Sumamos la fila 2 a la fila 1 multiplicada por 1:
[2 0 -2/5 | 4]
[0 1 7/5 | 1]
De ahí, despejamos la variable x en términos de z en la primera ecuacion:
2x = 4 + 2/5z
2x = (20/5) + (2/5)z
x = (22/5) + (1/5)z
Despejamos la variable y en términos de z en la segunda ecuacion:
y = 1 - 7/5z
Por lo tanto los puntos de intersección de los planos dados están definidos por las ecuaciones:
x = (22/5) + (1/5)z
y = 1 - 7/5z
