Para resolver el problema de la rapidez del proyectil luego de 7 segundos, podemos analizar las componentes horizontal y vertical de la velocidad por separado.
Dado:
- Rapidez inicial (\(v_0\)) = 40 m/s
- Ángulo de lanzamiento (\(\theta\)) = 45°
- Aceleración debida a la gravedad (\(g\)) = 10 m/s²
- Tiempo (\(t\)) = 7 s
Primero, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal (\(v_{0x}\)) y vertical (\(v_{0y}\)):
\[ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 40 \cos(45°) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40 \cdot 0.707 \approx 28.28 \text{ m/s} \]
\[ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 40 \sin(45°) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40 \cdot 0.707 \approx 28.28 \text{ m/s} \]
La componente horizontal de la velocidad (\(v_x\)) permanece constante, ya que no hay aceleración en la dirección horizontal:
\[ v_x = v_{0x} = 28.28 \text{ m/s} \]
Para la componente vertical de la velocidad (\(v_y\)) a los 7 segundos, usamos la ecuación:
\[ v_y = v_{0y} - g t \]
\[ v_y = 28.28 \text{ m/s} - (10 \text{ m/s}^2 \cdot 7 \text{ s}) \]
\[ v_y = 28.28 \text{ m/s} - 70 \text{ m/s} \]
\[ v_y = -41.72 \text{ m/s} \]
Luego, la rapidez total del proyectil es la magnitud de la velocidad resultante, que se obtiene usando el teorema de Pitágoras:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]
\[ v = \sqrt{(28.28)^2 + (-41.72)^2} \]
\[ v = \sqrt{799.87 + 1741.76} \]
\[ v = \sqrt{2541.63} \]
\[ v \approx 50.41 \text{ m/s} \]
Entonces, la rapidez del proyectil después de 7 segundos es aproximadamente 50 m/s. La alternativa correcta es:
**a. 50 m/s**
