Respuesta :
Explicación paso a paso:
Para hallar el cociente de dividir \(x^4 + 2x^2 + 3x + 4\) entre \(x^2 + x + 2\), usaremos la división larga de polinomios.
1. Dividimos el término de mayor grado del dividendo (\(x^4\)) por el término de mayor grado del divisor (\(x^2\)), obteniendo \(x^2\).
2. Multiplicamos \(x^2\) por todo el divisor (\(x^2 + x + 2\)), obteniendo \(x^4 + x^3 + 2x^2\).
3. Restamos este resultado del dividendo:
\(x^4 + 2x^2 + 3x + 4 - (x^4 + x^3 + 2x^2) = -x^3 + x + 4\).
4. Repetimos el proceso con \(-x^3\):
\(-x^3\) dividido por \(x^2\) da \(-x\).
5. Multiplicamos \(-x\) por el divisor (\(x^2 + x + 2\)), obteniendo \(-x^3 - x^2 - 2x\).
6. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
\(-x^3 + x + 4 - (-x^3 - x^2 - 2x) = x^2 + 3x + 4\).
7. Repetimos el proceso con \(x^2\):
\(x^2\) dividido por \(x^2\) da \(1\).
8. Multiplicamos \(1\) por el divisor (\(x^2 + x + 2\)), obteniendo \(x^2 + x + 2\).
9. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
\(x^2 + 3x + 4 - (x^2 + x + 2) = 2x + 2\).
El cociente de la división es \(x^2 - x + 1\) y el residuo es \(2x + 2\).
En forma de cociente y residuo, la respuesta es:
\[ x^2 - x + 1 + \frac{2x + 2}{x^2 + x + 2} \]