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Para resolver este tipo de problema, podemos utilizar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Dado que la aceleración debido a la gravedad (g) es constante, podemos aplicar estas ecuaciones:
1. \( v = v_0 - gt \)
2. \( y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \)
3. \( v^2 = v_0^2 - 2gy \)
donde:
- \( v \) es la velocidad final.
- \( v_0 \) es la velocidad inicial.
- \( g \) es la aceleración debido a la gravedad (aproximadamente \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \) hacia abajo).
- \( t \) es el tiempo.
- \( y \) es la altura.
**Paso 1: Encontrar la velocidad inicial (\( v_0 \))**
En el punto más alto, la velocidad final (\( v \)) es 0. Entonces, podemos usar la tercera ecuación para encontrar \( v_0 \):
\[ 0 = v_0^2 - 2g \cdot 100 \]
Despejamos \( v_0 \):
\[ v_0^2 = 2g \cdot 100 \]
\[ v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 100} \]
\[ v_0 \approx 44.27 \, \text{m/s} \]
**a) Calcular el tiempo para subir 50 m**
Usamos la segunda ecuación para encontrar el tiempo que tarda en alcanzar 50 m:
\[ 50 = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \]
Sustituimos \( v_0 \):
\[ 50 = 44.27 t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \]
\[ 50 = 44.27 t - 4.9 t^2 \]
Esta es una ecuación cuadrática en \( t \):
\[ 4.9 t^2 - 44.27 t + 50 = 0 \]
Usamos la fórmula cuadrática:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
donde \( a = 4.9 \), \( b = -44.27 \) y \( c = 50 \):
\[ t = \frac{44.27 \pm \sqrt{44.27^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 50}}{2 \cdot 4.9} \]
Calculamos:
\[ t = \frac{44.27 \pm \sqrt{1960.3329 - 980}}{9.8} \]
\[ t = \frac{44.27 \pm \sqrt{980.3329}}{9.8} \]
\[ t = \frac{44.27 \pm 31.3}{9.8} \]
Esto nos da dos soluciones:
\[ t_1 \approx 7.7 \, \text{s} \]
\[ t_2 \approx 1.32 \, \text{s} \]
El tiempo relevante para el ascenso es \( t \approx 1.32 \, \text{s} \).
**b) Altura un segundo antes de regresar a su punto original**
El tiempo total de vuelo es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima:
\[ t_{\text{total}} = 2 \cdot \frac{v_0}{g} \]
\[ t_{\text{total}} = 2 \cdot \frac{44.27}{9.8} \approx 9.03 \, \text{s} \]
Un segundo antes de regresar al punto original, el tiempo es:
\[ t_{\text{segundo antes}} = 9.03 \, \text{s} - 1 \, \text{s} = 8.03 \, \text{s} \]
Usamos la segunda ecuación para encontrar la altura en este tiempo:
\[ y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \]
Sustituimos \( v_0 \) y \( t \):
\[ y = 44.27 \cdot 8.03 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (8.03)^2 \]
\[ y \approx 355.33 - 315.16 \]
\[ y \approx 40.17 \, \text{m} \]
Así que, un segundo antes de regresar a su punto original, la pelota estará a unos 40.17 metros de altura.
Estas son las ecuaciones y los pasos necesarios para resolver el problema.