Respuesta:
Para encontrar el límite de la función dada cuando \( x \) tiende a infinito:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{7x^4 + 2x + 9}{2x^3 - 3} \]
Vamos a analizar los grados de los polinomios en el numerador y el denominador. El numerador tiene un término de mayor grado \( 7x^4 \) y el denominador tiene un término de mayor grado \( 2x^3 \).
Para simplificar este límite, dividimos todos los términos del numerador y el denominador por \( x^4 \), que es el mayor grado presente en el numerador:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{7x^4 + 2x + 9}{2x^3 - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{2}{x^3} + \frac{9}{x^4}}{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^4}} \]
A medida que \( x \) tiende a infinito, los términos \(\frac{2}{x^3}\), \(\frac{9}{x^4}\), \(\frac{2}{x}\) y \(\frac{3}{x^4}\) tienden a 0. Por lo tanto, podemos simplificar el límite a:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{7}{0} \]
Esto es una indeterminación. Para resolver este tipo de límites, observamos que los términos dominantes en el numerador y denominador son \(7x^4\) y \(2x^3\), respectivamente. Por lo tanto, la forma correcta de proceder es comparando estos términos dominantes:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{7x^4}{2x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{7x}{2} \]
Cuando \( x \) tiende a infinito, \( 7x/2 \) también tiende a infinito.
Por lo tanto, el límite es:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{7x^4 + 2x + 9}{2x^3 - 3} = \infty \]
El resultado es que el límite tiende a infinito.
