Respuesta:
Explicación paso a paso:
Ejercicio 1:
Dada la información siguiente, use la regla de la cadena para encontrar
dt
dz
:
=
cos
(
2
)
;
=
2
−
2
;
=
1
−
6
z=cos(yx
2
);x=t
2
−2t;y=1−t
6
Primero, expresamos
z en función de
t:
=
cos
(
2
)
z=cos(yx
2
)
Para aplicar la regla de la cadena:
=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dz
=
∂x
∂z
dt
dx
+
∂y
∂z
dt
dy
Calculamos las derivadas parciales:
∂
∂
=
cos
(
2
)
=
−
sin
(
2
)
⋅
2
∂x
∂z
=
dx
d
cos(yx
2
)=−sin(yx
2
)⋅2yx
∂
∂
=
cos
(
2
)
=
−
sin
(
2
)
⋅
2
∂y
∂z
=
dy
d
cos(yx
2
)=−sin(yx
2
)⋅x
2
Luego, derivamos
x y
y con respecto a
t:
=
2
−
2
dt
dx
=2t−2
=
−
6
5
dt
dy
=−6t
5
Ahora, sustituimos en la fórmula de la regla de la cadena:
=
−
sin
(
2
)
⋅
2
⋅
(
2
−
2
)
+
(
−
sin
(
2
)
⋅
2
)
⋅
(
−
6
5
)
dt
dz
=−sin(yx
2
)⋅2yx⋅(2t−2)+(−sin(yx
2
)⋅x
2
)⋅(−6t
5
)
Ejercicio 2:
Dada la información siguiente, use la regla de la cadena para encontrar
dt
dw
:
=
2
−
4
;
=
3
+
7
;
=
cos
(
2
)
;
=
4
w=
y
4
x
2
−z
;x=t
3
+7;y=cos(2t);z=4t
Para aplicar la regla de la cadena:
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dt
dw
=
∂x
∂w
dt
dx
+
∂y
∂w
dt
dy
+
∂z
∂w
dt
dz
Calculamos las derivadas parciales:
∂
∂
=
2
4
∂x
∂w
=
y
4
2x
∂
∂
=
(
2
−
4
)
=
−
4
2
−
5
∂y
∂w
=
dy
d
(
y
4
x
2
−z
)=−4
y
5
x
2
−z
∂
∂
=
−
1
4
∂z
∂w
=−
y
4
1
Derivamos
x,
y y
z con respecto a
t:
=
3
3
dt
dx
=3t
3
=
−
2
sin
(
2
)
dt
dy
=−2sin(2t)
=
4
dt
dz
=4
Sustituimos en la fórmula de la regla de la cadena:
=
2
4
⋅
3
3
+
(
−
4
2
−
5
)
⋅
(
−
2
sin
(
2
)
)
+
(
−
1
4
)
⋅
4
dt
dw
=
y
4
2x
⋅3t
3
+(−4
y
5
x
2
−z
)⋅(−2sin(2t))+(−
y
4
1
)⋅4
Ejercicio 3:
Dada la información siguiente, use la regla de la cadena para encontrar
∂
∂
∂x
∂z
y
∂
∂
∂y
∂z
:
=
−
2
6
−
4
;
=
2
;
=
−
3
z=u
−2
v
6
−4u;u=x
2
y;v=y−3x
Primero, necesitamos las derivadas parciales de
z con respecto a
u y
v:
∂
∂
=
−
2
−
3
6
−
4
∂u
∂z
=−2u
−3
v
6
−4
∂
∂
=
6
−
2
5
∂v
∂z
=6u
−2
v
5
Luego, aplicamos la regla de la cadena:
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂x
∂z
=
∂u
∂z
∂x
∂u
+
∂v
∂z
∂x
∂v
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂y
∂z
=
∂u
∂z
∂y
∂u
+
∂v
∂z
∂y
∂v
Calculamos las derivadas parciales de
u y
v:
∂
∂
=
2
∂x
∂u
=2xy
∂
∂
=
2
∂y
∂u
=x
2
∂
∂
=
−
3
∂x
∂v
=−3
∂
∂
=
1
∂y
∂v
=1
Finalmente, sustituimos en las fórmulas:
∂
∂
=
(
−
2
−
3
6
−
4
)
⋅
2
+
(
6
−
2
5
)
⋅
(
−
3
)
∂x
∂z
=(−2u
−3
v
6
−4)⋅2xy+(6u
−2
v
5
)⋅(−3)
∂
∂
=
(
−
2
−
3
6
−
4
)
⋅
2
+
(
6
−
2
5
)
⋅
1
∂y
∂z
=(−2u
−3
v
6
−4)⋅x
2
+(6u
−2
v
5
)⋅1
