Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura del faro junto con la superficie -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el observador en lo alto del mismo avistando -a cierta distancia- a un bote en el mar, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra el bote -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en la cima del faro- hasta el punto donde se encuentra el bote, el cual es visto con un ángulo de depresión de 40°
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 40° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Conocemos a qué distancia de la base del faro se encuentra el bote y de un ángulo de depresión de 40°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra el bote en el mar - ubicado en A-, y conocemos un ángulo de depresión de 40° y debemos hallar la altura del faro- donde en lo alto del mismo se sitúa el observador- , -la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =40^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(40^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(40^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ al \ bote } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ del \ faro = distancia \ al \ bote \cdot tan(40^o) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ del \ faro = 350 \ m \cdot tan(40^o) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ del \ faro = 350 \ m \cdot 0.839099631177 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ del \ faro \approx293.6848 \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura \ del \ faro \approx293.68 \ metros } }[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
