Respuesta :
La altura h del edificio es de 45 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la medida de la altura del edificio, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el edificio hasta cierto punto en el suelo donde esta se extiende -ubicado en A-, donde se encuentra el observador- y el lado AB (c) que es la línea visual desde el punto donde culmina la sombra -donde se encuentra el observador- hasta la cima del edificio, el cual es visto con un ángulo de elevación al sol de 37°
Donde se pide calcular:
La altura h del edificio
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la longitud de la sombra proyectada por el edificio y de un ángulo de elevación al sol de 37°
- Longitud de la sombra proyectada por el edificio = 60 metros
- Ángulo de elevación = 37°
- Debemos hallar la altura h del edificio
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado - que es la longitud de la sombra proyectada por el edificio, hasta cierto punto donde esta se extiende, -donde se ubica el observador- y conocemos un ángulo de elevación al sol de 37° y debemos hallar la medida de la altura h del edificio, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Calculamos la altura h del edificio
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =37^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ sombra\ del \ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura \ del \ edificio= sombra\ del \ edificio \cdot tan(37^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{3}{4} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura \ del \ edificio= 60 \ m \cdot \frac{3}{4} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura \ del \ edificio= \frac{180}{4} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {altura \ del \ edificio= 45 \ metros } }[/tex]
Luego la altura h del edificio es de 45 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
