Respuesta:
## Solución a la ecuación x^2 = 4x - 5 en español:
**1. Encontrar el valor de x que hace que la ecuación sea verdadera:**
La ecuación en la imagen es **x^2 = 4x - 5**. Para resolverla, podemos usar la fórmula cuadrática:
```
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
```
donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. En este caso, a = 1, b = 4 y c = -5. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
```
x = (-4 ± sqrt(4^2 - 4 * 1 * -5)) / 2 * 1
```
```
x = (-4 ± sqrt(36)) / 2
```
```
x = (-4 ± 6) / 2
```
```
x = 1 o x = -5
```
Por lo tanto, las soluciones a la ecuación **x^2 = 4x - 5** son **x = 1** y **x = -5**.
**2. Graficar la ecuación:**
Para graficar la ecuación **x^2 = 4x - 5**, primero podemos reescribirla en forma vértice:
```
y = a(x - h)^2 + k
```
donde a, h y k son constantes. Para encontrar los valores de a, h y k, podemos usar los siguientes pasos:
1. Completar el cuadrado:
```
x^2 - 4x + 5 = 0
```
```
(x^2 - 4x) + 5 = 0
```
```
(x^2 - 4x + 4) + 1 = 0
```
```
(x - 2)^2 + 1 = 0
```
2. Comparar la ecuación con la forma vértice:
```
y = a(x - h)^2 + k
```
```
y = 1(x - (-2))^2 + 1
```
De la comparación, podemos ver que:
```
a = 1
```
```
h = -2
```
```
k = 1
```
Ahora podemos usar estos valores para graficar la ecuación. El vértice de la parábola está en el punto **(h, k) = (-2, 1)**. La parábola se abre hacia arriba porque **a = 1** es positivo. El eje de simetría es la línea **x = h = -2**. La intersección con el eje y es el punto **(0, k) = (0, 1)**.
[Image of the graph of the equation x^2 = 4x - 5]
**3. Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 9).**
Para encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 9), podemos usar los siguientes pasos:
1. Encontrar la forma vértice de la ecuación:
```
y = a(x - h)^2 + k
```
donde a, h y k son constantes. Sabemos que la parábola pasa por los puntos (2, 1) y (4, 9). Podemos sustituir estos puntos en la ecuación para obtener dos ecuaciones:
```
1 = a(2 - h)^2 + k
```
```
9 = a(4 - h)^2 + k
```
Podemos resolver estas ecuaciones para a, h y k. Una forma de hacerlo es usar la eliminación. Restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos:
```
8 = a(4 - h)^2 - a(2 - h)^2
```
```
8 = a[(4 - h)^2 - (2 - h)^2]
```
```
8 = a(4 - h + 2 - h)(4 - h - 2 + h)
```
```
8 = 8a(2 - h)
```
```
a = 1
```
Ahora que sabemos que a = 1, podemos sustituirlo de nuevo en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver h y k. Sustituyámoslo en la primera ecuación:
```
1 = 1(2 - h)^2 + k
```
```
1 = (2 - h)^2 + k
```
```
1 = 4 - 4h + h^
