Respuesta:
## Solución a las integrales en español:
**Primera integral:**
[tex]\int\sqrt{8+3x^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{8+3x^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}ln(\sqrt{3}x+\sqrt{8+3x^{2}})+c[/tex]
**Explicación:**
Esta integral es una integral indefinida de una función racional con un radical cuadrado. Para resolverla, podemos utilizar la técnica de **sustitución u**. Esta técnica consiste en sustituir una variable por otra función para simplificar la integral. En este caso, vamos a sustituir **[tex]u = \sqrt{8+3x^{2}}[/tex]**.
**Pasos para resolver la integral:**
1. **Sustitución:**
a. Sustituimos **[tex]u = \sqrt{8+3x^{2}}[/tex]** en la integral:
[tex]\int\sqrt{8+3x^{2}}dx=\int u\,du[/tex]
b. Derivamos **u** con respecto a **x** para obtener **du**:
[tex]du=\frac{3x}{\sqrt{8+3x^{2}}}dx[/tex]
c. Sustituimos **du** en la integral:
[tex]\int u\,du=\int\frac{3x}{\sqrt{8+3x^{2}}}dx[/tex]
2. **Simplificación:**
a. Simplificamos la integral:
[tex]\int\frac{3x}{\sqrt{8+3x^{2}}}dx=3\int\frac{1}{u}\,du[/tex]
b. Integramos la expresión simplificada:
[tex]3\int\frac{1}{u}\,du=3ln|u|+c[/tex]
3. **Sustitución inversa:**
a. Sustituimos **[tex]u = \sqrt{8+3x^{2}}[/tex]** de nuevo en la integral:
[tex]3ln|u|+c=3ln|\sqrt{8+3x^{2}}|+c[/tex]
b. Simplificamos la expresión:
[tex]3ln|\sqrt{8+3x^{2}}|+c=\frac{3}{2}\sqrt{8+3x^{2}}+c[/tex]
4. **Conclusión:**
La solución final a la integral es:
[tex]\int\sqrt{8+3x^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{8+3x^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}ln(\sqrt{3}x+\sqrt{8+3x^{2}})+c[/tex]
**Segunda integral:**
[tex]\int\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}dx=\frac{x}{4}\sqrt{\frac{4-x^{2}}{4}}+arc~sen\frac{x}{2}+c[/tex]
**Explicación:**
Esta integral es una integral indefinida de una función racional con un radical cuadrado. Para resolverla, podemos utilizar la técnica de **sustitución trigonometricas**. Esta técnica consiste en sustituir una variable por una función trigonométrica para simplificar la integral. En este caso, vamos a sustituir **x = 2sen(t)**.
**Pasos para resolver la integral:**
1. **Sustitución:**
a. Sustituimos **x = 2sen(t)** en la integral:
[tex]\int\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}dx=\int\sqrt{1-4sen^2(t)}\,2cos(t)\,dt[/tex]
b. Simplificamos la expresión:
[tex]\int\sqrt{cos^2(t)}\,2cos(t)\,dt=2\int cos(t)\,dt[/tex]
2. **Integración:**
a. Integramos la expresión simplificada:
[tex]2\int cos(t)\,dt=2sen(t)+c[/tex]
3. **Sustitución inversa:**
a. Sustituimos **[tex]x = 2sen(t)[/tex]** de nuevo en la integral:
[tex]2sen(t)+c=2sen\left(\arcsin\frac{x}{2}\right)+c[/tex]
b. Simplificamos la expresión:
[tex]2sen\left(\arcsin\frac{x}{2}\right)+c=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{4-x^{2}}{4}}+c[/tex]
