Respuesta:
Para determinar el tiempo en que un capital de 30000.00 con un rendimiento del 18%, dependiendo de la capitalización periódica, utilizaremos la fórmula del monto compuesto:
M=P(1+ nr ) nt
Explicación paso a paso:
Donde:
M es el monto final (30000.00 + interés).
P es el capital inicial (30000.00).
r es la tasa de interés anual (18% o 0.18).
n es el número de veces que se capitaliza por año.
t es el tiempo en años.
Vamos a resolver cada caso:
a) Capitalización bimestral (n = 6 veces al año):
M=30000.00(1+ 60.18 ) 6t
Simplificando:
=30000.00(1+0.03)6
M=30000.00(1+0.03) 6t
=30000.00(1.03)6
M=30000.00(1.03) 6t
Para despejar
t:log(1.03)6=log(30000.00)log(1.03) 6t =log( 30000.00M )
6⋅log(1.03)=log(30000.00)
6t⋅log(1.03)=log( 30000.00M )=log
(30000.00)6⋅log(1.03)t= 6⋅log(1.03)
log( 30000.00M )
Donde
=30000.00⋅(1.03)6t
M=30000.00⋅(1.03) 6t .
b) Capitalización semestral (n = 2 veces al año):
=30000.00(1+0.182)2
M=30000.00(1+ 20.18 ) 2t
Simplificando:
=30000.00(1+0.09)2
M=30000.00(1+0.09)
2t=30000.00(1.09)2t
M=30000.00(1.09) 2t
Para despejar
t:=log(30000.00)2⋅log(1.09)
t= 2⋅log(1.09)log( 30000.00M )
Donde
=30000.00⋅(1.09)2
M=30000.00⋅(1.09) 2t
.
c) Capitalización trimestral (n = 4 veces al año):
=30000.00(1+0.184)4
M=30000.00(1+ 40.18 ) 4t
Simplificando:
=30000.00(1+0.045)4
M=30000.00(1+0.045) 4t
=30000.00(1.045)4
M=30000.00(1.045) 4t
Para despejar
t:=log(M30000.00)4⋅log(1.045)
t= 4⋅log(1.045)log( 30000.00M )
Donde
=30000.00⋅(1.045)4
M=30000.00⋅(1.045) 4t .
d) Capitalización mensual (n = 12 veces al año):
=30000.00(1+0.1812)12
M=30000.00(1+ 120.18 ) 12
Simplificando:
=30000.00(1+0.015)12
M=30000.00(1+0.015) 12t
=30000.00(1.015)12M=30000.00(1.015) 12t
Para despejar
t:=log(30000.00)12⋅log(1.015)= 12.
log(1.015)
log( 30000.00M )
Donde
=30000.00⋅(1.015)12
M=30000.00⋅(1.015) 12t .
