En la caja registradora se tienen 12 billetes de 20 pesos y 8 billetes de 50 pesos
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema
Llamamos variable "x" a los billetes de $ 20 pesos
Y variable "y" a los billetes de $ 50 pesos
Donde sabemos que
El total de billetes que se tienen en la caja registradora es de 20
Donde sabemos que el monto total que suman las dos clases de billetes es de $ 640
Teniendo la caja registradora billetes de denominación de $ 20 pesos
Teniendo la caja registradora billetes de denominación de $ 50 pesos
Planteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de billetes de denominación de $ 20 pesos y la cantidad de billetes de denominación de $ 50 pesos para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de billetes que la caja registradora tiene en total
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 20 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como en la caja registradora se tienen dos denominaciones o dos clases de billetes sumamos los billetes de valor de $ 20 pesos y los billetes de valor de $ 50 pesos para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que la caja registradora tiene
[tex]\large\boxed {\bold {20x +50y = 640 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
Despejamos y en la primera ecuación
En
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x +y=20 }}[/tex]
Despejamos y
[tex]\large\boxed {\bold {y =20 -x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =20 -x }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {20x +50y = 640 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {20x +50\ (20 -x) = 640 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {20x+1000 -50x =640 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {20x -50x +1000 = 640 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -30x+ 1000=640 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -30x = 640-1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -30x = -360 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = \frac{-360}{-30} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x =12 }}[/tex]
Por lo tanto en la caja registradora se tienen 12 billetes de $ 20 pesos (de denominación 20)
Hallamos la cantidad de billetes de $ 50 pesos que se tienen en la caja registradora
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =20 -x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y =20 -12 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =8 }}[/tex]
Luego en la caja registradora se tienen 8 billetes de $ 50 pesos (de denominación 50)
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x + y= 20 }}[/tex]
[tex]\bold { 12 \ billetes\ de \ \$\ 20 + 8 \ billetes\ de \ \$\ 50 = 20 \ billetes }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {20 \ billetes= 20 \ billetes }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {20x +50y = 640 }}[/tex]
[tex]\bold {\$ \ 20 \cdot 12 \ billetes + \$ \ 50 \cdot 8 \ billetes = \$\ 640 }[/tex]
[tex]\bold {\$\ 240 + \$\ 400 = \$\ 640 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 640= \$\ 640 }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan
Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
