Respuesta :
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Para resolver este problema, utilizaremos las ecuaciones del movimiento bajo aceleración constante (en este caso, la gravedad). Consideramos que la aceleración debida a la gravedad es \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) y la dirección hacia abajo es positiva.
### a) Rapidez inicial con que se lanzó el objeto
La ecuación de movimiento en el eje vertical es:
\[ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
Donde:
- \( y(t) \) es la posición en función del tiempo.
- \( y_0 \) es la posición inicial (30 m).
- \( v_0 \) es la velocidad inicial.
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (9.8 m/s²).
- \( t \) es el tiempo (4 s).
Sabemos que cuando el objeto llega al suelo, \( y(t) = 0 \). Entonces, substituyendo \( y(t) = 0 \), \( y_0 = 30 \, \text{m} \), y \( t = 4 \, \text{s} \):
\[ 0 = 30 + v_0 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 4^2 \]
Resolviendo esta ecuación para \( v_0 \):
\[ 0 = 30 + 4v_0 - 78.4 \]
\[ 4v_0 = 48.4 \]
\[ v_0 = 12.1 \, \text{m/s} \]
### b) Altura máxima que alcanza respecto del punto de lanzamiento
La altura máxima se alcanza cuando la velocidad instantánea es 0. Utilizamos la ecuación de la velocidad:
\[ v(t) = v_0 - gt \]
En el punto más alto, \( v(t) = 0 \):
\[ 0 = 12.1 - 9.8t \]
\[ t = \frac{12.1}{9.8} \approx 1.23 \, \text{s} \]
Luego, usamos este tiempo para encontrar la altura máxima utilizando la ecuación de posición:
\[ y_{\text{max}} = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
\[ y_{\text{max}} = 30 + 12.1 \cdot 1.23 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (1.23)^2 \]
Calculando esta expresión:
\[ y_{\text{max}} = 30 + 14.883 - 7.399 \]
\[ y_{\text{max}} = 37.484 \, \text{m} \]
La altura máxima respecto del punto de lanzamiento es \( 37.484 - 30 = 7.484 \, \text{m} \).
### c) Posición y velocidad en el instante \( t = 3.5 \, \text{s} \)
Primero, calculamos la posición usando la ecuación de movimiento:
\[ y(3.5) = 30 + 12.1 \cdot 3.5 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (3.5)^2 \]
\[ y(3.5) = 30 + 42.35 - 60.025 \]
\[ y(3.5) = 12.325 \, \text{m} \]
Luego, calculamos la velocidad en ese instante usando la ecuación de velocidad:
\[ v(3.5) = 12.1 - 9.8 \cdot 3.5 \]
\[ v(3.5) = 12.1 - 34.3 \]
\[ v(3.5) = -22.2 \, \text{m/s} \]
La velocidad es negativa porque el objeto está descendiendo.
### Resumen:
a) La rapidez inicial con que se lanzó el objeto hacia arriba es \( 12.1 \, \text{m/s} \).
b) La altura máxima que alcanza respecto del punto de lanzamiento es \( 7.484 \, \text{m} \).
c) En el instante \( t = 3.5 \, \text{s} \):
- La posición es \( 12.325 \, \text{m} \) sobre el nivel del suelo.
- La velocidad es \( -22.2 \, \text{m/s} \) (descendiendo).