Respuesta :
El perímetro del triangulo ABC es de 19.24 unidades
Dados los vértices de un polígono en el plano cartesiano se pide calcular su perímetro
Vértices:
[tex]\bold{A (3,5) }[/tex]
[tex]\bold{B (-3,2) }[/tex]
[tex]\bold{C (5,1) }[/tex]
Llevamos el problema al plano cartesiano
Dado que el polígono -que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder hallar el perímetro:
Determinamos las dimensiones de sus lados
Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
a) Longitud del lado AB
[tex]\bold{A (3,5) \ \ \ B(-3,2)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{((-3)-3 )^{2} +(2-5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{(-3-3 )^{2} +(2-5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB}= \sqrt{(-6) ^{2} + (-3)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{39+ 9 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{45 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{9\cdot5 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AB} = \sqrt{3^{2} \cdot5 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {AB} = 3\sqrt{5} \ unidades } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {AB} \approx 6.71\ unidades } }[/tex]
b) Longitud del lado BC
[tex]\bold{B (-3,2) \ \ \ C(5,1)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {BC} = \sqrt{(5-(-3) )^{2} +(1-2 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {BC} = \sqrt{(5+3 )^{2} +(1-2 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {BC}= \sqrt{8 ^{2} + (-1)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {BC} = \sqrt{64+ 1 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {BC} = \sqrt{65} \ unidades } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {BC}\approx 8.06 \ unidades } }[/tex]
c) Longitud del lado AC
[tex]\bold{A (3,5) \ \ \ C(5,1)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC} = \sqrt{(5-3 )^{2} +(1-5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC}= \sqrt{2^{2}+ (-4)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC} = \sqrt{4 +16 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC} = \sqrt{20 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC} = \sqrt{4\cdot 5 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \overline {AC} = \sqrt{ 2^{2} \cdot 5 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {AC} = 2\sqrt{5} \ unidades } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { \overline {AC}\approx 4.47 \ unidades } }[/tex]
Conocidas las magnitudes de todos los lados del polígono
El perímetro de una figura se halla a partir de la suma de todos sus lados
[tex]\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC = \overline {AB} + \overline {BC} + \overline {AC} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC = 6.71 \ u +8.06 \ u + 4.47 \ u }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC = 19.24 \ unidades }}[/tex]
El perímetro del triángulo ABC es de 19.24 unidades
Al determinar las magnitudes de los lados del triángulo ABC se han hallado tres lados de distinta longitud
Por lo tanto según la medida de sus lados, el triángulo ABC es escaleno, con sus tres lados desiguales
Observando la figura adjunta los lados AB y AC forman un ángulo recto de 90° grados luego el triángulo ABC es rectángulo
Determinamos si el triángulo ABC es rectángulo o no
Empleando el Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
[tex]\large\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} + cateto \ 2^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} }}[/tex]
Empleamos la notación habitual en triángulos rectángulos
A los lados de menor magnitud los denotaremos como "a" y "b" y serán los catetos
Y el lado de mayor valor es la hipotenusa, a ese lado lo llamaremos "c"
Luego tendremos:
[tex]\large\textsf{a = Lado AC = Cateto 1 = }\bold{2\sqrt{5} \ unidades }[/tex]
[tex]\large\textsf{b = Lado AB = Cateto 2 = }\bold{3\sqrt{5} \ unidades }[/tex]
[tex]\large\textsf{c = Lado BC = Hipotenusa = }\bold{\sqrt{65} \ unidades }[/tex]
Donde si se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, luego el triángulo será rectángulo.
Si esto no se cumple no lo será
Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar si el triángulo ABC es rectángulo o no lo es
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\left(\sqrt{65} \right ) ^{2} = \left(2\sqrt{5} \right )^{2} + \left(3\sqrt{5} \right ) ^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 65 = 2^{2}\cdot 5+ 3^{2}\cdot 5 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 65 =4\cdot 5+ 9\cdot 5 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 65 = 20 + 45 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 65 \ u^{2} = 65 \ u^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{ Se cumple la igualdad }[/tex]
Concluyendo que como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por lo tanto el triángulo ABC es rectángulo
Se agrega gráfico
