Enunciado:
Un hombre que está en la playa hace volar una cometa. Sostiene el extremo de la cuerda de la cometa al nivel del suelo y estima que el ángulo de elevación de la cometa es de 50°. Si la cuerda es de 450 pies de largo, determine a que altura se encuentra volando la cometa sobre el suelo.
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura a la que se encuentra volando la cometa -medida perpendicularmente desde el suelo- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que es la distancia horizontal desde el extremo de la cuerda que sujeta a la cometa en el suelo -a los pies del hombre, ubicado en A- hasta el punto donde se encuentra volando la cometa medida perpendicularmente desde el plano del suelo -el cual es el cateto adyacente al ángulo dado -del cual no se pide hallar su valor-, el lado AB (c) que representa la longitud de la cuerda de la cometa que se ha soltado para volarla desde cierto punto en el suelo -donde se encuentran los pies del observador- hasta el punto donde se encuentra volando la cometa- siendo la hipotenusa del triángulo-. Teniendo finalmente el lado BC (a) que equivale a la altura a la que se encuentra volando la cometa sobre el suelo -siendo el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo- la cual es nuestra incógnita. Donde se estima que el ángulo de elevación de la cometa es de 50°. Siendo este el ángulo formado por la cuerda que sostiene a la cometa con respecto al plano horizontal o del suelo en el punto donde se encuentran los pies del hombre-
Conocemos la longitud de la cuerda que sujeta a la cometa y de un ángulo de elevación de 50°
Dado que el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Como sabemos la longitud de la cuerda que sujeta a la cometa -la cual es la hipotenusa del triángulo rectángulo- y conocemos un ángulo de elevación de 50° y debemos hallar la altura h a la que se encuentra volando la cometa sobre el suelo -siendo el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo- determinaremos dicha magnitud mediante la razón trigonométrica seno del ángulo α
Relacionamos los datos con el seno del ángulo α [tex]\bold{ \alpha = 50^o }[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed { \bold { sen(50^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen(50^o) = \frac{ altura \ cometa }{ longitud \ cuerda \ cometa } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ cometa = longitud \ cuerda\ cometa\cdot sen(50^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ cometa =450 \ pies\cdot sen(50^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ cometa = 450 \ pies\cdot 0.766044443119 }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ cometa \approx 344.719\ pies }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { altura \ cometa \approx344.7\ pies}}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
