Respuesta :
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Para encontrar el valor entero de \( M \) que satisfaga \( M \leq x^2 + 10x + 31 \) para todo \( x \), necesitamos encontrar el valor mínimo de la expresión cuadrática \( x^2 + 10x + 31 \).
Primero, completemos el cuadrado para la expresión cuadrática \( x^2 + 10x + 31 \):
\[
x^2 + 10x + 31 = (x^2 + 10x + 25) + 6 = (x + 5)^2 + 6
\]
La forma completada del cuadrado nos muestra que la expresión \( (x + 5)^2 + 6 \) tiene su valor mínimo cuando \( (x + 5)^2 \) es mínimo. Dado que \( (x + 5)^2 \) es siempre no negativo y alcanza su valor mínimo de 0 cuando \( x = -5 \), podemos evaluar la expresión en ese punto:
\[
(x + 5)^2 + 6 \geq 6
\]
Esto significa que el valor mínimo de \( x^2 + 10x + 31 \) es 6, y por lo tanto:
\[
M \leq 6
\]
Como \( M \) debe ser un valor entero, el valor entero más grande que es menor o igual a 6 es 6.
Por lo tanto, el valor entero de \( M \) es:
\[
\boxed{6}
\]