Respuesta :
Para resolver el problema, debemos asegurar que cada numeral es válido en su base respectiva y maximizar la suma \(n + m + p + q\).
### Análisis de cada numeral
1. **\(22p_{(n)}\):**
- Este numeral debe ser válido en la base \(n\).
- Los dígitos 2 y 2 son válidos si \(n > 2\), y \(p\) debe ser menor que \(n\).
2. **\(31nm_{(6)}\):**
- Este numeral debe ser válido en la base 6.
- Por lo tanto, \(3, 1, n\) y \(m\) deben ser dígitos válidos en base 6.
- Esto implica que \(n\) y \(m\) deben ser menores que 6.
3. **\(2001_{(p)}\):**
- Este numeral debe ser válido en la base \(p\).
- Los dígitos 2, 0, 0 y 1 son válidos si \(p > 2\).
4. **\(2nq1_{(m)}\):**
- Este numeral debe ser válido en la base \(m\).
- Los dígitos 2, \(n\), \(q\) y 1 deben ser menores que \(m\).
- Por lo tanto, \(m\) debe ser mayor que 2 y \(q\) debe ser menor que \(m\).
### Maximización de \(n + m + p + q\)
Para maximizar \(n + m + p + q\):
1. **De \(31nm_{(6)}\):**
- \(n\) y \(m\) deben ser menores que 6.
- Podemos elegir los valores máximos posibles para \(n\) y \(m\), es decir, \(n = 5\) y \(m = 5\).
2. **De \(2001_{(p)}\):**
- Para maximizar \(p\), \(p\) debe ser el mayor posible dado que 2, 0, 0 y 1 son válidos.
- El mayor valor posible para \(p\) es 3 (cualquier valor mayor no tiene sentido ya que 2, 0, 0 y 1 son válidos en cualquier base mayor que 2).
3. **De \(2nq1_{(m)}\):**
- Ya determinamos que \(m = 5\).
- Entonces, \(q\) debe ser menor que 5.
- El mayor valor posible para \(q\) es 4.
Resumiendo:
- \(n = 5\)
- \(m = 5\)
- \(p = 3\)
- \(q = 4\)
La suma máxima de \(n + m + p + q\) es:
\[ 5 + 5 + 3 + 4 = 17 \]