Respuesta:
**Ejercicio 1: Simplifica cada expresión.**
**a. \(\sqrt[5]{-32}+(-1)^{\frac{2}{3}}\)**
Primero, simplificamos el radical:
\begin{align*}
\sqrt[5]{-32}&=\sqrt[5]{-2^5}\\
&=-2
\end{align*}
Luego, simplificamos la potencia con exponente fraccionario:
\begin{align*}
(-1)^{\frac{2}{3}}&=(-1)^{\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}}\\
&=(-1)^{\frac{2}{3}}\\
&=(-1)^{\frac{1}{3}}\cdot(-1)^{\frac{1}{3}}\\
&=(-1)\cdot(-1)\\
&=1
\end{align*}
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\(\sqrt[5]{-32}+(-1)^{\frac{2}{3}}=-2+1=\boxed{-1}\)
**b. \(\frac{-4^{\frac{1}{2}}-\sqrt[5]{-243}}{\sqrt{121}}\)**
Primero, simplificamos los radicales:
\begin{align*}
\sqrt[5]{-243}&=\sqrt[5]{-3^5}\\
&=-3\\
\sqrt{121}&=\sqrt{11^2}\\
&=11
\end{align*}
Luego, cambiamos la potencia con exponente fraccionario a una potencia con exponente entero:
\begin{align*}
-4^{\frac{1}{2}}&=(-4)^{\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}}\\
&=-4^{\frac{1}{2}}\\
&=(-4)^{\frac{1}{4}}
\end{align*}
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\(\frac{-4^{\frac{1}{2}}-\sqrt[5]{-243}}{\sqrt{121}}=\frac{-4^{\frac{1}{4}}-(-3)}{11}\)
Simplificando aún más:
\begin{align*}
\frac{-4^{\frac{1}{4}}-(-3)}{11}&=\frac{-2-3}{11}\\
&=\frac{-5}{11}\\
&=-\boxed{\frac{5}{11}}
\end{align*}
**c. \(-64^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{100}\)**
Primero, simplificamos el radical:
\(\sqrt{100}=\sqrt{10^2}=10\)
Luego, cambiamos la potencia con exponente fraccionario a una potencia con exponente entero:
\begin{align*}
-64^{\frac{1}{3}}&=(-64)^{\frac{1\cdot 3}{3\cdot 3}}\\
&=-64^{\frac{1}{3}}\\
&=-4
\end{align*}
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\(-64^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt{100}=-4\cdot10=\boxed{-40}\)
**d. \[\frac{\sqrt{100}-\sqrt[4]{16}}{\sqrt[18]{0}}\]**
Primero, simplificamos los radicales:
\begin{align*}
\sqrt{100}&=\sqrt{10^2}=10\\
\sqrt[4]{16}&=\sqrt[4]{2^4}=2
\end{align*}
Luego, simplificamos el radical con índice 18:
\(\sqrt[18]{0}=0\)
Sin embargo, no se puede dividir por 0, por lo que la expresión no está definida.
**Ejercicio 2: Halla dos radicales equivalentes a cada radical.**
**a. \(\sqrt[4]{5x}\)**
Dos radicales equivalentes a \(\sqrt[4]{5x}\) son:
\begin{align*}
\sqrt[4]{5x}&=\sqrt[4]{5x}\\
&=(5x)^{\frac{1}{4}}
\end{align*}
**b. \[\sqrt[8]{(7d)^{22}}\]**
Dos radicales equivalentes a \[\sqrt[8]{(7d)^{22}}\] son:
\begin{align*}
\sqrt[8]{(7d)^{22}}&=(7d)^{\frac{22}{8}}\\
&=7d\cdot\sqrt[8]{7
