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no sé la verdad disculpa solo para puntos
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Para verificar la afirmación del gerente, vamos a analizar las condiciones que deben cumplirse para que la media, la mediana y la moda sean 1500, 1400 y 1800, respectivamente, con uno de los sueldos siendo 1200.
Primero, recordemos las definiciones básicas:
1. **Media (promedio)**: La suma de todos los sueldos dividida por el número de sueldos.
2. **Mediana**: El valor central cuando todos los sueldos están ordenados.
3. **Moda**: El valor que más se repite.
### Paso 1: Calcular la suma de los sueldos usando la media
Dado que la media de los sueldos es 1500 y hay 5 sueldos en total:
\[ \text{Media} = \frac{\text{Suma de los sueldos}}{5} = 1500 \]
\[ \text{Suma de los sueldos} = 1500 \times 5 = 7500 \]
### Paso 2: Considerar la información de un sueldo conocido
Uno de los sueldos es 1200. Por lo tanto, la suma de los otros cuatro sueldos es:
\[ 7500 - 1200 = 6300 \]
### Paso 3: Configuración para cumplir con la mediana y la moda
- La **mediana** es 1400. Con 5 sueldos, el sueldo central (tercer sueldo cuando están ordenados) debe ser 1400.
- La **moda** es 1800. Esto significa que 1800 debe aparecer al menos dos veces.
Vamos a denotar los sueldos ordenados de menor a mayor como \(a, b, 1400, d, e\).
Sabemos que:
- 1200 es uno de los sueldos, así que debe ser \(a\) o \(b\) ya que es menor que 1400.
- Necesitamos que 1800 sea la moda, así que 1800 debe ser \(d\) y \(e\), o \(e\) y otro sueldo repetido.
### Paso 4: Configurar los sueldos
- Para simplificar, supongamos \(a = 1200\). Entonces tenemos:
\[ 1200, b, 1400, d, e \]
donde \(b\) puede ser cualquier valor menor que 1400, y \(d\) y \(e\) deben sumar junto con \(1200\) y \(b\) a 7500.
Como \(d\) y \(e\) tienen que ser 1800 (por ser la moda):
\[ 1200 + b + 1400 + 1800 + 1800 = 7500 \]
\[ 6200 + b = 7500 \]
\[ b = 1300 \]
Entonces, los sueldos son:
\[ 1200, 1300, 1400, 1800, 1800 \]
### Verificación final:
- **Media**:
\[ \frac{1200 + 1300 + 1400 + 1800 + 1800}{5} = \frac{7500}{5} = 1500 \]
- **Mediana**: El valor central es 1400.
- **Moda**: El valor que se repite más veces es 1800.
### Conclusión:
La afirmación del gerente es correcta. Los sueldos \(1200, 1300, 1400, 1800, 1800\) cumplen con la media de 1500, la mediana de 1400, y la moda de 1800.