Respuesta :
Respuesta:
La ecuación diferencial dada es:
\[ y'' + 2y' + 3y = 0 \]
Para resolver esta ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, buscamos una solución de la forma \( y(t) = e^{rt} \), donde \( r \) es una constante que debemos determinar.
1. **Encuentro de la solución característica:**
Sustituimos \( y(t) = e^{rt} \) en la ecuación diferencial:
\[ r^2 e^{rt} + 2r e^{rt} + 3 e^{rt} = 0 \]
Factorizamos \( e^{rt} \) (que es distinto de cero para cualquier \( t \)):
\[ e^{rt} (r^2 + 2r + 3) = 0 \]
La única manera de que esto sea cierto para todo \( t \) es que el factor \( r^2 + 2r + 3 = 0 \).
2. **Resolución de la ecuación característica:**
Encontramos las raíces de la ecuación cuadrática \( r^2 + 2r + 3 = 0 \) usando la fórmula cuadrática \( r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1 \), \( b = 2 \), y \( c = 3 \):
\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \]
\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} \]
\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} \]
\[ r = -1 \pm i\sqrt{2} \]
Por lo tanto, las soluciones para \( r \) son \( r_1 = -1 + i\sqrt{2} \) y \( r_2 = -1 - i\sqrt{2} \).
3. **Formación de la solución general:**
Dado que las raíces \( r_1 \) y \( r_2 \) son complejas conjugadas, la solución general de la ecuación diferencial es:
\[ y(t) = e^{-t}(A \cos(\sqrt{2}t) + B \sin(\sqrt{2}t)) \]
Donde \( A \) y \( B \) son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema específico.
En resumen, la solución de la ecuación diferencial \( y'' + 2y' + 3y = 0 \) es \( y(t) = e^{-t}(A \cos(\sqrt{2}t) + B \sin(\sqrt{2}t)) \), donde \( A \) y \( B \) son constantes arbitrarias.
Explicación paso a paso:
es pero que te ayude mucho