Respuesta :
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Para determinar el valor de \( k \) tal que el punto \((2, k)\) sea equidistante a las rectas \( x + y - 2 = 0 \) y \( x - 7y + 2 = 0 \), necesitamos calcular la distancia desde el punto \((2, k)\) a cada una de las rectas y luego igualarlas.
### Distancia desde un punto a una recta
La distancia desde un punto \((x_1, y_1)\) a una recta \(Ax + By + C = 0\) se calcula con la fórmula:
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
### Distancia desde \((2, k)\) a la recta \( x + y - 2 = 0 \)
Para la recta \( x + y - 2 = 0 \):
- \( A = 1 \)
- \( B = 1 \)
- \( C = -2 \)
La distancia es:
\[ d_1 = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot k - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + k - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}} \]
### Distancia desde \((2, k)\) a la recta \( x - 7y + 2 = 0 \)
Para la recta \( x - 7y + 2 = 0 \):
- \( A = 1 \)
- \( B = -7 \)
- \( C = 2 \)
La distancia es:
\[ d_2 = \frac{|1 \cdot 2 - 7 \cdot k + 2|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{|2 - 7k + 2|}{\sqrt{50}} = \frac{|4 - 7k|}{\sqrt{50}} = \frac{|4 - 7k|}{5\sqrt{2}} \]
### Igualar las distancias
Para que el punto \((2, k)\) sea equidistante a ambas rectas, debemos igualar \( d_1 \) y \( d_2 \):
\[ \frac{|k|}{\sqrt{2}} = \frac{|4 - 7k|}{5\sqrt{2}} \]
Multiplicamos ambos lados por \( \sqrt{2} \) para simplificar:
\[ |k| = \frac{|4 - 7k|}{5} \]
Multiplicamos ambos lados por 5 para eliminar el denominador:
\[ 5|k| = |4 - 7k| \]
### Resolver la ecuación
Debemos considerar dos casos para resolver la ecuación \( 5|k| = |4 - 7k| \).
#### Caso 1: \( k \geq 0 \)
Si \( k \geq 0 \), entonces \( |k| = k \) y tenemos dos sub-casos para \( 4 - 7k \geq 0 \):
1. \( 5k = 4 - 7k \)
\[ 5k + 7k = 4 \]
\[ 12k = 4 \]
\[ k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
2. \( 5k = -(4 - 7k) \)
\[ 5k = -4 + 7k \]
\[ 5k - 7k = -4 \]
\[ -2k = -4 \]
\[ k = 2 \]
#### Caso 2: \( k < 0 \)
Si \( k < 0 \), entonces \( |k| = -k \) y tenemos dos sub-casos para \( 4 - 7k < 0 \):
1. \( -5k = 4 - 7k \)
\[ -5k + 7k = 4 \]
\[ 2k = 4 \]
\[ k = 2 \] (No es válido ya que \( k < 0 \))
2. \( -5k = -(4 - 7k) \)
\[ -5k = -4 + 7k \]
\[ -5k - 7k = -4 \]
\[ -12k = -4 \]
\[ k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] (No es válido ya que \( k < 0 \))
### Soluciones
De los casos considerados, las soluciones válidas son:
\[ k = \frac{1}{3} \]
\[ k = 2 \]
Sin embargo, al revisar los casos, notamos que sólo el primer caso \( k = \frac{1}{3} \) satisface la condición de \( k \geq 0 \).
### Conclusión
El valor de \( k \) tal que el punto \((2, k)\) sea equidistante a las rectas \( x + y - 2 = 0 \) y \( x - 7y + 2 = 0 \) es:
\[ k = \frac{1}{3} \]