Para resolver este problema utilizando cálculo diferencial y ecuaciones de movimiento bajo la aceleración gravitacional constante, vamos a abordar cada parte:
- Velocidad inicial (v₀) = 80 m/s
- Ángulo de lanzamiento (θ) = 30°
- Aceleración debido a la gravedad (g) = 9.8 m/s² (suponemos que es la gravedad terrestre estándar)
- Tiempo (t) = 6 s (para parte a)
a) Posición y velocidad después de los 6 segundos:
Para calcular la posición y la velocidad del proyectil después de 6 segundos, necesitamos descomponer la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical:
- Componente horizontal inicial (v₀x) = v₀ * cos(θ)
- Componente vertical inicial (v₀y) = v₀ * sin(θ)
1. Velocidad en el tiempo t = 6 s:
La velocidad horizontal (vx) se mantiene constante, ya que no hay aceleración horizontal:
[tex]\[ v_x = v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \][/tex]
La velocidad vertical (vy) cambia debido a la aceleración gravitacional:
vy = voy - g X t
vy = vo X \sin(\theta) - g X t
Sustituyendo los valores:
vy = 80 X sin(30°) - 9.8 X 6
vy = 80 X 0.5 - 58.8
vy = 40 - 58.8
vy = -18.8 m/s
Por lo tanto, la velocidad después de 6 segundos es:
- Velocidad horizontal vx = 80 X cos(30°) = 69.28 \) m/s
- Velocidad vertical vy = -18.8 m/s
2. Posición en el tiempo t = 6 s:
La posición horizontal (x) se calcula como:
x = v_{0x} X t
x = 80 X \cos(30°) X 6 \]
x = 69.28 X 6
x = 415.68 m}
La posición vertical (y) se calcula como:
y = voy X t - 1/2g²
y = 80 X sin (30°) X 6 - 1/2 X 9.8 X 6²
y = 40 X 6 - 0.5 X 9.8 X 36
y = 240 - 176.4
y = 63.6 m
Por lo tanto, la posición después de 6 segundos es:
- Posición horizontal (x) = 415.68 m
- Posición vertical (y) = 63.6 m
b) Tiempo para alcanzar la altura máxima:
El tiempo para alcanzar la altura máxima tmax se calcula como el tiempo necesario para que la velocidad vertical se vuelva cero (punto donde la velocidad cambia de ascendente a descendente):
[tex]\[ v_y = v_{0y} - g \cdot t_{\text{max}} = 0 \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{80 \cdot \sin(30°)}{9.8} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{40}{9.8} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} \approx 4.08 \text{ s} \][/tex]
c) Alcance horizontal:
El alcance horizontal (R) se calcula como la distancia horizontal recorrida por el proyectil antes de volver a nivel del suelo:
[tex]\[ R = v_{0x} \cdot t_{\text{total}} \][/tex]
Donde ttotal es el tiempo total de vuelo, que se calcula como el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima, ya que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:
[tex]\[ t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{max}} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{total}} = 2 \cdot 4.08 \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{total}} = 8.16 \text{ s} \][/tex]
Entonces,
R = 80 · cos(30°) · 8.16
R = 69.28 · 8.16
R ≈ 565.90 m
Por lo tanto:
- Alcance horizontal (R) ≈ 565.90 m
Estos cálculos utilizan principios básicos de cálculo diferencial para analizar el movimiento del proyectil bajo la gravedad, considerando la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
