De dos puntos A y B que distan entre sí 200 m. salen simultáneamente dos móviles. El que sale de A tiene una velocidad de 5 m/s. y va hacia B con una aceleración constante de 1 m/s2. El que sale de B va hacia A con movimiento uniforme a 12 m/s. ¿En qué punto se cruzarán? De dos puntos A y B que distan entre sí 200 m. salen simultáneamente dos móviles. El que sale de A tiene una velocidad de 5 m/s. y va hacia B con una aceleración constante de 1 m/s2. El que sale de B va hacia A con movimiento uniforme a 12 m/s. ¿En qué punto se cruzarán?

Para encontrar el punto de cruce de los dos móviles, primero tenemos que establecer las ecuaciones del movimiento de cada uno.Móvil 1 (sale de A con velocidad inicial de 5 m/s y aceleración de 1 m/s²):La ecuación del movimiento para un móvil con aceleración constante es:[ x_1(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]Donde:( x_0 = 0 ) (posición inicial en A)( v_0 = 5 , \text{m/s} )( a = 1 , \text{m/s}^2 )Entonces la posición del móvil 1 en función del tiempo ( t ) es:[ x_1(t) = 0 + 5t + \frac{1}{2} (1) t^2 ] [ x_1(t) = 5t + \frac{1}{2} t^2 ] [ x_1(t) = 5t + 0.5t^2 ]Móvil 2 (sale de B con velocidad constante de 12 m/s):La ecuación del movimiento para un móvil con velocidad constante es:[ x_2(t) = x_0 + v t ]Donde:( x_0 = 200 , \text{m} ) (posición inicial en B)( v = -12 , \text{m/s} ) (la velocidad es negativa porque se mueve hacia A)Entonces la posición del móvil 2 en función del tiempo ( t ) es:[ x_2(t) = 200 - 12t ]Punto de cruce:Los móviles se cruzan cuando sus posiciones son iguales:[ x_1(t) = x_2(t) ] [ 5t + 0.5t^2 = 200 - 12t ]Reordenamos la ecuación:[ 0.5t^2 + 5t + 12t - 200 = 0 ] [ 0.5t^2 + 17t - 200 = 0 ]Multiplicamos toda la ecuación por 2 para deshacernos del coeficiente fraccionario:[ t^2 + 34t - 400 = 0 ]Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]Donde:( a = 1 )( b = 34 )( c = -400 )Calculamos:[ t = \frac{-34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(-400)}}{2(1)} ] [ t = \frac{-34 \pm \sqrt{1156 + 1600}}{2} ] [ t = \frac{-34 \pm \sqrt{2756}}{2} ] [ t = \frac{-34 \pm 52.5}{2} ]Tenemos dos soluciones:[ t_1 = \frac{-34 + 52.5}{2} = \frac{18.5}{2} = 9.25 , \text{s} ] [ t_2 = \frac{-34 - 52.5}{2} = \frac{-86.5}{2} = -43.25 , \text{s} ] (esta solución no es válida porque el tiempo no puede ser negativo)Así que el tiempo de cruce es ( t = 9.25 , \text{s} ).Ahora, sustituimos este valor de ( t ) en cualquiera de las ecuaciones de movimiento para encontrar la posición de cruce. Usamos ( x_1(t) ):[ x_1(9.25) = 5(9.25) + 0.5(9.25)^2 ] [ x_1(9.25) = 46.25 + 0.5(85.5625) ] [ x_1(9.25) = 46.25 + 42.78125 ] [ x_1(9.25) = 89.03125 , \text{m} ]Por lo tanto, los móviles se cruzarán a aproximadamente ( 89.03 , \text{m} ) del punto A.