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Para determinar el área de la región R delimitada por los gráficos de las funciones f(x) = 1 - x^2 y g(x) = x - 1 en el intervalo [-2, 1], podemos calcular la integral de la diferencia de las funciones en ese intervalo. El área de la región R será igual al valor absoluto de la integral de la diferencia de las funciones en el intervalo dado.
La función f(x) = 1 - x^2 representa una parábola que se abre hacia abajo, y la función g(x) = x - 1 representa una recta con una pendiente de 1 y una intersección en el eje y en -1.
Para encontrar los puntos de intersección de las funciones, igualamos las dos funciones y resolvemos para x:
1 - x^2 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
Por lo tanto, los puntos de intersección son x = -2 y x = 1.
Para determinar el área de la región R, calculamos la integral de la diferencia de las funciones en el intervalo [-2, 1]:
\text{Área de } R = \int_{-2}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{-2}^{1} |(1 - x^2) - (x - 1)| \, dx
= \int_{-2}^{1} |1 - x^2 - x + 1| \, dx = \int_{-2}^{1} |2 - x^2 - x| \, dx
Para calcular esta integral, debemos dividir el intervalo [-2, 1] en dos partes en los puntos de intersección x = -2 y x = 1, y luego calcular la integral de cada parte por separado.
Vamos a calcular el área de la región R siguiendo estos pasos.
Para calcular el área de la región R delimitada por los gráficos de las funciones f(x) = 1 - x^2 y g(x) = x - 1 en el intervalo [-2, 1], procederemos de la siguiente manera:
1. Encontrar los puntos de intersección de las funciones:
Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las dos funciones y resolvemos:
1 - x^2 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
Los puntos de intersección son x = -2 y x = 1.
2. Calcular el área de la región R:
\text{Área de } R = \int_{-2}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{-2}^{1} |(1 - x^2) - (x - 1)| \, dx
= \int_{-2}^{1} |1 - x^2 - x + 1| \, dx = \int_{-2}^{1} |2 - x^2 - x| \, dx
Dividiremos la integral en dos partes en los puntos de intersección x = -2 y x = 1 y calcularemos la integral de cada parte por separado.
3. Calcular la integral para x en el intervalo [-2, 1]:
\text{Área de } R = \int_{-2}^{1} |2 - x^2 - x| \, dx
Realizaremos los cálculos necesarios para determinar el área de la región R. ¡Vamos a proceder con los cálculos!