Respuesta :
Explicación paso a paso
Para expandir los binomios dados, utilizaremos la fórmula del binomio de Newton, que es útil para expandir potencias de binomios:
1. **Para \( (x - 1)^4 \):**
Utilizando la fórmula del binomio de Newton:
\[ (x - 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-1)^k \]
Donde \( \binom{4}{k} \) es el coeficiente binomial.
Calculamos cada término:
- Para \( k = 0 \):
\[ \binom{4}{0} = 1 \]
\[ x^{4-0} = x^4 \]
\[ (-1)^0 = 1 \]
Término: \( x^4 \)
- Para \( k = 1 \):
\[ \binom{4}{1} = 4 \]
\[ x^{4-1} = x^3 \]
\[ (-1)^1 = -1 \]
Término: \( -4x^3 \)
- Para \( k = 2 \):
\[ \binom{4}{2} = 6 \]
\[ x^{4-2} = x^2 \]
\[ (-1)^2 = 1 \]
Término: \( 6x^2 \)
- Para \( k = 3 \):
\[ \binom{4}{3} = 4 \]
\[ x^{4-3} = x \]
\[ (-1)^3 = -1 \]
Término: \( -4x \)
- Para \( k = 4 \):
\[ \binom{4}{4} = 1 \]
\[ x^{4-4} = 1 \]
\[ (-1)^4 = 1 \]
Término: \( 1 \)
Entonces, la expansión completa es:
\[ (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \]
2. **Para \( (x + 1)^5 \):**
Aplicamos la misma fórmula del binomio de Newton:
\[ (x + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} \cdot 1^k \]
Calculamos cada término:
- Para \( k = 0 \):
\[ \binom{5}{0} = 1 \]
\[ x^{5-0} = x^5 \]
Término: \( x^5 \)
- Para \( k = 1 \):
\[ \binom{5}{1} = 5 \]
\[ x^{5-1} = x^4 \]
Término: \( 5x^4 \)
- Para \( k = 2 \):
\[ \binom{5}{2} = 10 \]
\[ x^{5-2} = x^3 \]
Término: \( 10x^3 \)
- Para \( k = 3 \):
\[ \binom{5}{3} = 10 \]
\[ x^{5-3} = x^2 \]
Término: \( 10x^2 \)
- Para \( k = 4 \):
\[ \binom{5}{4} = 5 \]
\[ x^{5-4} = x \]
Término: \( 5x \)
- Para \( k = 5 \):
\[ \binom{5}{5} = 1 \]
\[ x^{5-5} = 1 \]
Término: \( 1 \)
Entonces, la expansión completa es:
\[ (x + 1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 \]
3. **Para \( (x + 1)^3 \):**
Nuevamente, aplicamos la fórmula del binomio de Newton:
\[ (x + 1)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} \cdot 1^k \]
Calculamos cada término:
- Para \( k = 0 \):
\[ \binom{3}{0} = 1 \]
\[ x^{3-0} = x^3 \]
Término: \( x^3 \)
- Para \( k = 1 \):
\[ \binom{3}{1} = 3 \]
\[ x^{3-1} = x^2 \]
Término: \( 3x^2 \)
- Para \( k = 2 \):
\[ \binom{3}{2} = 3 \]
\[ x^{3-2} = x \]
Término: \( 3x \)
- Para \( k = 3 \):
\[ \binom{3}{3} = 1 \]
\[ x^{3-3} = 1 \]
Término: \( 1 \)
Entonces, la expansión completa es:
\[ (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
Estas son las expansiones completas de los binomios dados.