Respuesta :
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Para resolver este problema, vamos a utilizar la información dada sobre la traslación y la aplicación del punto.
Dado que el punto inicial es \( (2a+2, 4) \) y se traslada usando el vector \( (a, -6) \) para obtener el punto final \( (14, 5-b) \), podemos establecer la siguiente ecuación de traslación:
\[ (2a+2 + a, 4 - 6) = (14, 5-b) \]
Realicemos los cálculos paso a paso:
1. Sumamos el vector de traslación \( (a, -6) \) al punto inicial \( (2a+2, 4) \):
\[ (2a+2 + a, 4 - 6) = (3a+2, -2) \]
Entonces, tenemos la ecuación:
\[ (3a+2, -2) = (14, 5-b) \]
2. Ahora, igualamos las coordenadas correspondientes:
Para \( x \):
\[ 3a + 2 = 14 \]
Resolvemos para \( a \):
\[ 3a = 14 - 2 \]
\[ 3a = 12 \]
\[ a = \frac{12}{3} \]
\[ a = 4 \]
Para \( y \):
\[ -2 = 5 - b \]
Resolvemos para \( b \):
\[ -2 - 5 = -b \]
\[ -7 = -b \]
\[ b = 7 \]
3. Finalmente, calculamos \( a + b \):
\[ a + b = 4 + 7 \]
\[ a + b = 11 \]
Por lo tanto, el valor de \( a + b \) es \( \boxed{11} \).