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Para determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal en el punto \( P(2,1) \) de la función \( f(x) = x^2 \), primero encontraremos la derivada de la función, que nos dará la pendiente de la recta tangente en ese punto. Luego, utilizaremos esa pendiente para formar las ecuaciones de las rectas tangente y normal.
Paso 1: Encontrar la derivada de \( f(x) = x^2 \)
La derivada de \( f(x) = x^2 \) se obtiene aplicando las reglas de derivación. En este caso, la derivada de \( x^2 \) es \( 2x \). Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en cualquier punto \( x \) es \( 2x \).
Paso 2: Encontrar la pendiente en el punto \( P(2,1) \)
Al evaluar \( x = 2 \) en \( 2x \), obtenemos una pendiente de \( m = 2*2 = 4 \).
Paso 3: Determinar la ecuación de la recta tangente
Utilizaremos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar la ecuación de la recta tangente. Dado que el punto \( P(2,1) \) pertenece a la recta tangente y su pendiente es \( m = 4 \), podemos usar la ecuación punto-pendiente:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Sustituyendo \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 1 \), y \( m = 4 \), obtenemos:
\( y - 1 = 4(x - 2) \)
Esta es la ecuación de la recta tangente.
Paso 4: Determinar la ecuación de la recta normal
La pendiente de la recta normal es el negativo del recíproco de la pendiente de la recta tangente. Por lo tanto, la pendiente de la recta normal es \( -1/4 \). Utilizaremos nuevamente la forma punto-pendiente para encontrar su ecuación. Sustituyendo el punto \( P(2,1) \) y la pendiente \( -1/4 \), obtenemos:
\( y - 1 = (-1/4)(x - 2) \)
Esta es la ecuación de la recta normal.
Para representar gráficamente las ecuaciones, puedes utilizar un software o una calculadora con capacidades gráficas. Las ecuaciones te permitirán trazar las líneas tangentes y normales en el punto dado.