Respuesta:
Para encontrar los máximos y mínimos de la función \(y = x^3 - 6x^2 + 9x\), necesitamos encontrar su primera derivada, igualarla a cero para encontrar los puntos críticos y luego determinar si estos puntos son máximos o mínimos.
Empecemos por encontrar la primera derivada de la función \(y\):
\[ y = x^3 - 6x^2 + 9x \]
Para encontrar la primera derivada, \(y'\), aplicamos las reglas de derivación a cada término:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) \]
\[ y' = 3x^2 - 12x + 9 \]
Ahora igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Podemos resolver esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Donde \(a = 3\), \(b = -12\) y \(c = 9\). Al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de \(x\) que nos darán los puntos críticos.
Una vez que hayamos encontrado los puntos críticos, podemos determinar si son máximos o mínimos al analizar el comportamiento de la función alrededor de esos puntos. Esto se puede hacer utilizando la segunda derivada o evaluando la función en intervalos cercanos a los puntos críticos.
Si necesitas más ayuda con este paso, estaré encantado de guiarte a través del proceso.
Explicación paso a paso:
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