Sea un triángulo ABC, donde...
También sea la altura h desde el vértice A hasta el lado BC.
Recuerda que la altura se puede expresar en términos del area S,
Despejamos...
También podemos expresar el área con la fórmula de Herón, donde s es el semiperímetro del triángulo,
- S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
Donde s es igual a,
Recordemos que queremos demostrar que h es menor que la semisuma de los lados adyacentes b y c:
Ahora vamos a usar la inecuación geométrica (desigualdad del triángulo) que dice que cualquier triángulo con lados a, b y c, se cumple:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
Reorganizamos estas igualdades para nuestra demostración,
Bien. Ahora tenemos:
No hace falta el valor exacto de S (sabiendo que es positivo) gracias a la cota de esta desigualdad,
Dividimos...
Ahora bien. Observamos que la altura h de un triángulo siempre será menor que la longitud de cualquier lado, ya que la altura es una medida perpendicular desde un vértice al lado opuesto y nunca puede exceder la longitud de dicho lado.
Por lo cual...
R: Hemos demostrado que en cualquier triángulo, la medida de una altura es siempre menor que la semisuma de las medidas de los lados adyacentes.
