Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, necesitamos encontrar valores enteros \( x \) y \( y \) tales que satisfagan las siguientes condiciones:
1. \( 36 + x = 5y \)
2. \( 36 + x = 2z \)
donde \( y \) y \( z \) son múltiplos de 44. Primero, reordenemos estas ecuaciones para encontrar expresiones para \( y \) y \( z \):
\[ 5y - x = 36 \]
\[ 2z - x = 36 \]
A partir de estas ecuaciones, podemos despejar \( x \) en términos de \( y \) y \( z \):
\[ x = 5y - 36 \]
\[ x = 2z - 36 \]
Igualamos las dos expresiones para \( x \):
\[ 5y - 36 = 2z - 36 \]
Simplificando, obtenemos:
\[ 5y = 2z \]
Esto implica que \( z = \frac{5}{2}y \). Como \( z \) debe ser un múltiplo de 44, podemos encontrar el menor valor entero de \( y \) que satisface esta condición. Para ello, notamos que \( y \) debe ser un múltiplo común de 2 (para que \( z \) sea entero) y 5 (por la ecuación \( 5y = 2z \)). El mínimo común múltiplo de 2 y 5 es 10.
Tomamos \( y = 10 \):
\[ z = \frac{5}{2} \cdot 10 = 25 \]
Ahora, encontramos \( x \):
\[ x = 5y - 36 = 5 \cdot 10 - 36 = 50 - 36 = 14 \]
Entonces, el mayor valor posible de \( x \cdot y \) es:
\[ x \cdot y = 14 \cdot 10 = 140 \]
Verifiquemos que todas las condiciones se satisfacen con \( x = 14 \), \( y = 10 \), y \( z = 25 \):
1. \( 36 + 14 = 50 \) y \( 5 \cdot 10 = 50 \) (cumple la primera condición).
2. \( 36 + 14 = 50 \) y \( 2 \cdot 25 = 50 \) (cumple la segunda condición).
Por lo tanto, el mayor valor posible de \( x \cdot y \) es \( \boxed{140} \).
