Explicación paso a paso:
Primero, recordemos algunos conceptos clave:
Eje transversal: Es el segmento que une los vértices de la hipérbola.
Eje conjugado: Es perpendicular al eje transversal y conecta los cóvertices.
Focos: Son los puntos en la línea que contiene el eje transversal.
Asíntotas: Son las rectas que pasan por el centro y son perpendiculares al eje conjugado.
Dado que la hipérbola es vertical, su ecuación general es:
[tex][ \frac{{y2}}{{a2}} - \frac{{x2}}{{b2}} = 1 ][/tex]
Donde:
(2a) es la longitud del eje transversal (segmento que une a los vértices).
Las coordenadas del vértice son
[tex]((0, \pm a))[/tex]
(2b) es la longitud del eje conjugado (segmento que une a los cóvertices).
Las coordenadas de los cóvertices son
[tex](\left(\pm b, 0\right))[/tex]
La distancia entre los focos es (c), donde (c^2 = a^2 + b^2).
Las coordenadas de los focos son ((0, \pm c)).
Las ecuaciones de las asíntotas son
[tex](y = \pm \frac{a}{b}x).[/tex]
Dado que la longitud del eje real es de 8 unidades ((2a = 8)), tenemos (a = 4). Y dado que la longitud del eje imaginario es de 6 unidades ((2b = 6)), tenemos (b = 3). Calculamos (c):
[ c^2 = a^2 + b^2 ] [ c^2 = 4^2 + 3^2 ] [ c^2 = 16 + 9 ] [ c^2 = 25 ] [ c = 5 ]
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola vertical es:
[tex][ \frac{{y2}}{{42}} - \frac{{x2}}{{32}} = 1 ][/tex]
Y sus elementos son:
Vértices:
[tex]((0, \pm 4))[/tex]
Cóvertices:
[tex](\left(\pm 3, 0\right)[/tex]
Focos:
[tex]((0, \pm 5))[/tex]
Asíntotas:
[tex](y = \pm \frac{4}{3}x)[/tex]
