Respuesta:Para determinar el cociente de la división del polinomio \( P(x) = x^4 - 2x^3 - 23x^2 - 2x - 24 \) entre \( x + 4 \), utilizaremos la regla de Ruffini.
La regla de Ruffini es una técnica para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma \( x - a \). En este caso, nuestro divisor es \( x + 4 \), que podemos escribir como \( x - (-4) \).
### Pasos para la regla de Ruffini
1. **Coeficientes del polinomio:** Primero, anotamos los coeficientes del polinomio \( P(x) \).
\[
1, -2, -23, -2, -24
\]
2. **Valor de \( a \):** Nuestro \( a \) es \(-4\).
3. **Proceso de Ruffini:**
- Colocamos \(-4\) a la izquierda y los coeficientes en la parte superior.
- Bajamos el primer coeficiente.
- Multiplicamos el valor bajado por \(-4\) y sumamos al siguiente coeficiente.
- Repetimos el proceso hasta completar la tabla.
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-4 & 1 & -2 & -23 & -2 & -24 \\
\hline
& & -4 & 24 & -4 & 24 \\
\hline
& 1 & -6 & 1 & -6 & 0 \\
\end{array}
\]
### Interpretación de la tabla de Ruffini
- El último número (0) es el residuo de la división.
- Los números restantes (1, -6, 1, -6) son los coeficientes del cociente del polinomio.
Por lo tanto, el cociente de la división de \( P(x) = x^4 - 2x^3 - 23x^2 - 2x - 24 \) entre \( x + 4 \) es:
\[
Q(x) = x^3 - 6x^2 + x - 6
\]
Este es el polinomio cociente obtenido utilizando la regla de Ruffini.