Respuesta :
Respuesta:Para analizar la función
(
)
=
1
−
2
f(x)=
1−x
2
x
, procederemos con los siguientes pasos:
Dominio: Determinar dónde está definida la función.
Monotonía: Calcular la derivada y analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos: Encontrar los puntos críticos y determinar su naturaleza.
Curvatura y puntos de inflexión: Calcular la segunda derivada y analizar la concavidad.
Dominio
La función
(
)
=
1
−
2
f(x)=
1−x
2
x
tiene denominador
1
−
2
1−x
2
. Para que la función esté definida, el denominador no debe ser cero:
1
−
2
≠
0
1−x
2
=0
≠
±
1
x
=±1
Por lo tanto, el dominio de
(
)
f(x) es:
=
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
−
1
,
1
)
∪
(
1
,
∞
)
D
f
=(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,∞)
Monotonía
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, encontramos la primera derivada de
(
)
f(x):
(
)
=
1
−
2
f(x)=
1−x
2
x
Utilizamos la regla del cociente:
′
(
)
=
(
1
−
2
)
⋅
1
−
⋅
(
−
2
)
(
1
−
2
)
2
f
′
(x)=
(1−x
2
)
2
(1−x
2
)⋅1−x⋅(−2x)
′
(
)
=
1
−
2
+
2
2
(
1
−
2
)
2
f
′
(x)=
(1−x
2
)
2
1−x
2
+2x
2
′
(
)
=
1
+
2
(
1
−
2
)
2
f
′
(x)=
(1−x
2
)
2
1+x
2
Analizamos el signo de
′
(
)
f
′
(x):
El numerador
1
+
2
1+x
2
es siempre positivo para todo
x.
El denominador
(
1
−
2
)
2
(1−x
2
)
2
es siempre positivo para todo
≠
±
1
x
=±1.
Entonces,
′
(
)
>
0
f
′
(x)>0 para todo
≠
±
1
x
=±1. Esto significa que la función
(
)
f(x) es creciente en su dominio.
Máximos y mínimos
Dado que
′
(
)
f
′
(x) no cambia de signo en ningún punto de su dominio, no hay máximos ni mínimos locales en
(
)
f(x).
Curvatura y puntos de inflexión
Para analizar la curvatura, encontramos la segunda derivada de
(
)
f(x):
′
(
)
=
1
+
2
(
1
−
2
)
2
f
′
(x)=
(1−x
2
)
2
1+x
2
Aplicamos la regla del cociente nuevamente para
′
′
(
)
f
′′
(x):
′
′
(
)
=
(
1
−
2
)
2
⋅
2
−
(
1
+
2
)
⋅
2
(
1
−
2
)
⋅
(
−
2
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
(1−x
2
)
2
⋅2x−(1+x
2
)⋅2(1−x
2
)⋅(−2x)
′
′
(
)
=
2
(
1
−
2
)
2
+
4
(
1
+
2
)
(
1
−
2
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x(1−x
2
)
2
+4x(1+x
2
)(1−x
2
)
′
′
(
)
=
2
(
(
1
−
2
)
2
+
2
(
1
+
2
)
(
1
−
2
)
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x((1−x
2
)
2
+2(1+x
2
)(1−x
2
))
′
′
(
)
=
2
(
1
−
2
2
+
4
+
2
(
1
−
4
)
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x(1−2x
2
+x
4
+2(1−x
4
))
′
′
(
)
=
2
(
1
−
2
2
+
4
+
2
−
2
2
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x(1−2x
2
+x
4
+2−2x
2
)
′
′
(
)
=
2
(
3
−
4
2
+
4
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x(3−4x
2
+x
4
)
Simplificamos más:
′
′
(
)
=
2
(
4
−
4
2
+
3
)
(
1
−
2
)
4
f
′′
(x)=
(1−x
2
)
4
2x(x
4
−4x
2
+3)
Para encontrar los puntos de inflexión, analizamos dónde se anula
′
′
(
)
f
′′
(x):
2
(
4
−
4
2
+
3
)
=
0
2x(x
4
−4x
2
+3)=0
Tenemos dos factores a analizar:
2
=
0
2x=0
=
0
x=0
4
−
4
2
+
3
=
0
x
4
−4x
2
+3=0
Resolvemos la ecuación cuadrática en
=
2
y=x
2
:
2
−
4
+
3
=
0
y
2
−4y+3=0
(
−
1
)
(
−
3
)
=
0
(y−1)(y−3)=0
=
1
o
=
3
y=1oy=3
Entonces:
2
=
1
⇒
=
±
1
x
2
=1⇒x=±1
2
=
3
⇒
=
±
3
x
2
=3⇒x=±
3
Pero recordemos que
=
±
1
x=±1 no está en el dominio de
(
)
f(x). Por lo tanto, los puntos de inflexión relevantes son:
=
0
y
=
±
3
x=0yx=±
3
Conclusión
La función
(
)
=
1
−
2
f(x)=
1−x
2
x
es creciente en su dominio.
No tiene máximos ni mínimos locales.
Tiene puntos de inflexión en
=
0
x=0 y
=
±
3
x=±
3
.
Espero que esta explicación te haya sido útil
Explicación paso a paso:perdon la hice en word y me paso asi perdooon