Respuesta :
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, debemos plantear un sistema de ecuaciones con las variables \( x \) y \( y \), donde:
- \( x \) es el precio de un paquete de lápices.
- \( y \) es el precio de un paquete de bolígrafos.
Dado el problema, podemos formular las siguientes ecuaciones:
1. \(\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y = 12\)
2. \(\frac{3}{4}x + \frac{1}{3}y = 10\)
Primero, eliminamos las fracciones multiplicando cada ecuación por un denominador común.
Para la primera ecuación, el denominador común de 2 y 3 es 6:
Multiplicamos por 6:
\[ 6 \left( \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y \right) = 6 \times 12 \]
\[ 3x + 4y = 72 \]
Para la segunda ecuación, el denominador común de 4 y 3 es 12:
Multiplicamos por 12:
\[ 12 \left( \frac{3}{4}x + \frac{1}{3}y \right) = 12 \times 10 \]
\[ 9x + 4y = 120 \]
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1. \( 3x + 4y = 72 \)
2. \( 9x + 4y = 120 \)
Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \( y \):
\[ (9x + 4y) - (3x + 4y) = 120 - 72 \]
\[ 6x = 48 \]
\[ x = 8 \]
Ya hemos encontrado que el precio de un paquete de lápices es 8 euros.
Para encontrar el precio de un paquete de bolígrafos, sustituimos \( x = 8 \) en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en \( 3x + 4y = 72 \):
\[ 3(8) + 4y = 72 \]
\[ 24 + 4y = 72 \]
\[ 4y = 72 - 24 \]
\[ 4y = 48 \]
\[ y = 12 \]
Por lo tanto, el precio de un paquete de bolígrafos es 12 euros.
Resumiendo:
- El precio de un paquete de lápices es 8 euros.
- El precio de un paquete de bolígrafos es 12 euros.