Supongamos que ( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ) es una función continua en (\mathbb{R}) y dos veces diferenciable (es decir, ( f''(x) ) existe para todo ( x \in \mathbb{R} )). Si se sabe que ( f(0) = 0 ) y ( f'(0) = 1 ), demostrar que si ( f''(x) \geq f(x) ) para todo ( x \in \mathbb{R} ), entonces ( f(x) \geq 0 ) para todo ( x \geq 0 ).Solución:Para abordar esta pregunta, se puede utilizar la técnica de reducción al absurdo junto con el análisis de las propiedades de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Aquí hay una guía paso a paso para la demostración:Supongamos, con el propósito de contradicción, que existe algún ( x_0 \geq 0 ) tal que ( f(x_0) < 0 ).Dado que ( f(0) = 0 ) y ( f'(0) = 1 ), por continuidad de ( f ) y ( f' ), y el hecho de que ( f(0) = 0 ), ( f ) debe cruzar el eje ( x ) en algún punto ( x_1 > 0 ). Es decir, hay un punto ( x_1 > 0 ) tal que ( f(x_1) = 0 ).Por el teorema de Rolle, debe haber al menos un punto ( c \in (0, x_1) ) tal que ( f'(c) = 0 ).Consideremos el punto ( x_0 \geq c ) donde ( f(x_0) ) alcanza su mínimo en el intervalo ([0, x_1]). Esto significa que ( f'(x_0) = 0 ) y ( f''(x_0) \geq 0 ).Sin embargo, se nos ha dado que ( f''(x) \geq f(x) ) para todo ( x ). En particular, ( f''(x_0) \geq f(x_0) ).Dado que ( x_0 ) es un punto donde ( f(x) ) es mínimo y ( f'(x_0) = 0 ), se deduce que ( f''(x_0) \leq 0 ) por la segunda derivada. Pero como ( f(x_0) ) es negativo (por suposición), esto contradice ( f''(x_0) \geq f(x_0) ).Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que existe algún ( x_0 \geq 0 ) tal que ( f(x_0) < 0 ) debe ser falsa. Esto implica que ( f(x) \geq 0 ) para todo ( x \geq 0 ).
