Explicación paso a paso:
Para simplificar la expresión dada, primero reescribimos la expresión correctamente con todos los elementos claros:
\[
(5)^8 \cdot (-7)^9 \cdot (5) \cdot (-7)^6
\div
[(-7)^4]^2 \cdot [(5)^2]^2 \cdot [(-7)^3]^3 \cdot [(5)^2]^3
\]
Ahora simplifiquemos cada parte:
1. **Simplificamos el numerador:**
\[
(5)^8 \cdot (-7)^9 \cdot (5) \cdot (-7)^6 = (5)^{8+1} \cdot (-7)^{9+6} = (5)^9 \cdot (-7)^{15}
\]
2. **Simplificamos el denominador:**
\[
[(-7)^4]^2 \cdot [(5)^2]^2 \cdot [(-7)^3]^3 \cdot [(5)^2]^3 = (-7)^{4 \cdot 2} \cdot (5)^{2 \cdot 2} \cdot (-7)^{3 \cdot 3} \cdot (5)^{2 \cdot 3} = (-7)^8 \cdot (5)^4 \cdot (-7)^9 \cdot (5)^6
\]
Simplificamos el denominador agrupando las potencias de bases iguales:
\[
(-7)^8 \cdot (-7)^9 \cdot (5)^4 \cdot (5)^6 = (-7)^{8+9} \cdot (5)^{4+6} = (-7)^{17} \cdot (5)^{10}
\]
3. **Combinamos el numerador y el denominador:**
\[
\frac{(5)^9 \cdot (-7)^{15}}{(-7)^{17} \cdot (5)^{10}}
\]
Simplificamos dividiendo las potencias con la misma base:
\[
= \frac{(5)^9}{(5)^{10}} \cdot \frac{(-7)^{15}}{(-7)^{17}}
= (5)^{9-10} \cdot (-7)^{15-17}
= (5)^{-1} \cdot (-7)^{-2}
\]
Convertimos las potencias negativas en fracciones:
\[
= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(-7)^2}
= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{49}
= \frac{1}{245}
\]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\[
\frac{1}{245}
\]
