7. Aplicar la ley del seno en el siguiente triangulo que tiene como medidas: lado a = 27cm, ángulo B = 35° y ángulo A = 113°. Calcula la medida de los lados faltantes y ángulo que falta haciendo uso de la ley del seno.

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]

Se tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de uno de sus lados -con una magnitud de 27 centímetros- al que llamamos a, y el valor de dos de sus ángulos -de 113° y de 35°- a los que llamamos A y B respectivamente

Por tanto conocemos para este triángulo:

[tex]\bold{a = 27 \ cm}[/tex]

[tex]\bold{A = 113^o}[/tex]

[tex]\bold{B = 35^o}[/tex]

Donde se pide resolver el triángulo ABC, es decir determinar el valor del ángulo y las dimensiones de los lados faltantes

Ver gráfico adjunto

Con esta información:

Calculamos el valor del lado b (lado AC)

[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { \frac{ 27 \ cm }{ sen (113^o ) } = \frac{ b }{sen(35^o) } }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 27 \ cm \cdot sen(35 ^o ) }{\ sen(113^o) } }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 27 \ cm \cdot 0.573576436351 }{0.920504853452} }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 15.486563781477 }{ 0.920504853452}\ cm}}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { b \approx 16.82398 \ cm }}[/tex]

[tex]\textsf{Redondeando}[/tex]

[tex]\large\boxed { \bold { b \approx 16.82 \ cm }}[/tex]

La longitud del lado b es de aproximadamente 16.82 centímetros

Hallamos el valor del tercer ángulo del triángulo - al cual denotamos como C

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:

Planteamos:

[tex]\boxed {\bold { 180^o = A+ B+ C}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 180^o = 113^o+ 35^o +C}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {C = 180^o -113^o- 35^o }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {C= 32^o }}[/tex]

El valor del ángulo C es de 32°

Conocido el valor del tercer ángulo del triángulo:

Determinamos el valor del lado c (lado AB)

[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { \frac{27 \ cm }{ sen (113^o ) } = \frac{ c }{sen(32^o) } }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 27 \ cm \cdot sen(32^o ) }{\ sen(113^o) } }}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { c = \frac{27 \ cm \cdot 0.529919264233 }{ 0.920504853452 } } }[/tex]

[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 14.307820134291 }{ 0.920504853452 }\ cm}}[/tex]

[tex]\boxed { \bold { c \approx 15.54344 \ cm }}[/tex]

[tex]\textsf{Redondeando}[/tex]

[tex]\large\boxed { \bold { c \approx 15.54 \ cm }}[/tex]

La longitud del lado c es de aproximadamente 15.54 centímetros

Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido