Para cercar la finca triangular se necesitan 55.50 metros de valla
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se tiene una finca triangular que conforma un triangulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de dos de sus lados -con magnitudes de 20 metros y 15 metros- a los que llamamos a y b respectivamente, y el valor de uno de sus ángulos -de 70°, el cual es el ángulo comprendido entre los lados a y b -al que llamamos C
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\bold{a = 20 \ m}[/tex]
[tex]\bold{b = 15 \ m}[/tex]
[tex]\bold{C = 70^o}[/tex]
Donde dado que se desea vallar la finca triangular se requiere saber cuantos metros de valla se necesitarán
Por lo tanto se requieren conocer las longitudes de todos los lados del triángulo
Para determinar la longitud del lado faltante c vamos a aplicar el teorema del coseno
Ver gráfico adjunto
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la longitud del lado faltante c (AB)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado faltante
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 20 \ m)^{2} + (15 \ m)^{2} - 2 \cdot 20 \ m \cdot 15 \ m \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 400 \ m^{2} +225 \ m^{2} - 600 \ m^{2} \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =625 \ m^{2} - 600 \ m^{2} \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =625 \ m^{2} - 600 \ m^{2} \cdot 0.342020143326 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 625\ m^{2} -205.2120859956 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =419.7879140044 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 419.7879140044 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 419.7879140044\ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c \approx 20.488765 \ m }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando por exceso}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 20.5 \ metros}}[/tex]
El lado faltante c (AB) tiene una longitud de aproximadamente 20.5 metros
Conocida la dimensión del tercer lado de la finca triangular:
Calculamos la cantidad de metros necesaria para vallar dicha finca
Determinando el perímetro:
El perímetro de una figura se halla a partir de la suma de todos sus lados
[tex]\large\boxed {\bold { Perimetro\ ABC = lado \ a + lado \ b + lado \ c }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { Perimetro\ ABC = 20 \ m +15 \ m + 20.5 \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { Perimetro\ ABC = 55.5 \ metros }}[/tex]
Luego la cantidad de valla necesaria para cercar la finca triangular será de 55.50 metros
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
