Respuesta:
a. Este problema corresponde a un tipo de probabilidad combinatoria. En particular, se trata de un problema de combinaciones, ya que estamos interesados en seleccionar 5 empleados de una lista de 20 sin importar el orden en el que se seleccionen. En combinatoria, una combinación es una selección de elementos sin considerar el orden, que es exactamente lo que se describe en este problema.
b. Un diagrama de árbol para un problema de combinaciones con un conjunto tan grande no es práctico debido a la gran cantidad de ramas que tendría. Sin embargo, podemos comprobar el número de combinaciones usando la fórmula de combinaciones.
La fórmula para calcular el número de combinaciones de \( n \) elementos tomados de \( k \) en \( k \) es:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
Para nuestro problema, \( n = 20 \) y \( k = 5 \):
\[ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20 - 5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} \]
Calculamos los factoriales:
- \( 20! \) (factorial de 20) es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta 20.
- \( 5! \) (factorial de 5) es 120 (5 x 4 x 3 x 2 x 1).
- \( 15! \) (factorial de 15) es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta 15.
Simplificamos usando que \( 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! \):
\[ C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{5! \times 15!} \]
Los \( 15! \) se cancelan, y nos queda:
\[ C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!} \]
Como sabemos que \( 5! = 120 \):
\[ C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{120} \]
Calculamos el numerador:
\[ 20 \times 19 = 380 \]
\[ 380 \times 18 = 6840 \]
\[ 6840 \times 17 = 116280 \]
\[ 116280 \times 16 = 1860480 \]
Ahora dividimos por 120:
\[ \frac{1860480}{120} = 15504 \]
Por lo tanto, el número de maneras en que el Lic. Leonardo puede seleccionar a los 5 empleados de los 20 sin afectar la productividad es:
\[ \boxed{15504} \]
### Diagrama de Árbol (Simplificado)
Aunque un diagrama de árbol completo sería muy extenso, podemos ilustrar la estructura inicial para comprender el proceso:
1. Seleccionamos el primer empleado (20 opciones).
- Para cada selección del primer empleado, seleccionamos el segundo (19 opciones restantes).
- Para cada selección del segundo empleado, seleccionamos el tercero (18 opciones restantes).
- Para cada selección del tercero, seleccionamos el cuarto (17 opciones restantes).
- Para cada selección del cuarto, seleccionamos el quinto (16 opciones restantes).
El diagrama de árbol muestra una estructura de decisiones en cada nivel, pero por razones prácticas, solo se representan las primeras decisiones. El total de combinaciones se deriva de considerar todas las ramas posibles y dividir por las permutaciones repetidas.
