Para expresar \( \log 3 + 2 \cdot \log 4 - \frac{1}{2} \log 100 \) como un solo logaritmo, utilizaremos las propiedades de los logaritmos:
1. **Suma de logaritmos**: \( \log a + \log b = \log(ab) \)
2. **Resta de logaritmos**: \( \log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) \)
3. **Logaritmo de potencia**: \( \log(a^b) = b \cdot \log a \)
Ahora, simplifiquemos paso a paso:
\[ \log 3 + 2 \cdot \log 4 - \frac{1}{2} \log 100 \]
Primero, simplificamos \( \frac{1}{2} \log 100 \):
\[ \frac{1}{2} \log 100 = \log 100^{1/2} = \log 10 = 1 \]
Entonces, la expresión se convierte en:
\[ \log 3 + 2 \cdot \log 4 - 1 \]
Ahora, agrupamos los logaritmos usando las propiedades mencionadas:
\[ \log 3 + \log 4^2 - \log 10 \]
\[ \log 3 + \log 16 - \log 10 \]
Finalmente, combinamos los logaritmos restantes:
\[ \log \left( \frac{3 \cdot 16}{10} \right) \]
Simplificando dentro del logaritmo:
\[ \log \left( \frac{48}{10} \right) \]
\[ \log 4.8 \]
Por lo tanto, \( \log 3 + 2 \cdot \log 4 - \frac{1}{2} \log 100 = \log 4.8 \).
Esta es la expresión simplificada como un solo logaritmo.
