Respuesta:
Para resolver el problema y determinar los valores de \( m \) y \( n \) de modo que el polinomio \( P(x) = 2x^2 + 3x^2 + 3x^3 + 2x^2 + mx - n \) sea divisible por \( x^2 - 2x + 3 \), podemos seguir los siguientes pasos:
1. Simplificar el polinomio \( P(x) \).
2. Realizar la división del polinomio por \( x^2 - 2x + 3 \) y asegurarnos de que el residuo sea cero.
Primero, simplificamos \( P(x) \):
\[ P(x) = 2x^2 + 3x^2 + 3x^3 + 2x^2 + mx - n \]
\[ P(x) = 3x^3 + (2x^2 + 3x^2 + 2x^2) + mx - n \]
\[ P(x) = 3x^3 + 7x^2 + mx - n \]
Entonces, \( P(x) = 3x^3 + 7x^2 + mx - n \).
Ahora, verificamos que \( x^2 - 2x + 3 \) sea un divisor de \( P(x) \). Para eso, realizamos la división polinómica de \( P(x) \) entre \( x^2 - 2x + 3 \).
Utilizando el método de la división polinómica, encontramos los coeficientes de los términos del cociente y el residuo. Para que \( x^2 - 2x + 3 \) sea un divisor de \( P(x) \), el residuo de la división debe ser cero.
### División polinómica
\[ P(x) = (x^2 - 2x + 3)Q(x) + R(x) \]
Donde \( R(x) \) es el residuo, el cual debe ser cero para que \( x^2 - 2x + 3 \) sea divisor de \( P(x) \).
### Proceso de división:
1. \( 3x^3 \div x^2 = 3x \)
2. Multiplicamos \( 3x \) por \( x^2 - 2x + 3 \):
\[ 3x(x^2 - 2x + 3) = 3x^3 - 6x^2 + 9x \]
3. Restamos \( 3x^3 - 6x^2 + 9x \) de \( 3x^3 + 7x^2 + mx - n \):
\[ (3x^3 + 7x^2 + mx - n) - (3x^3 - 6x^2 + 9x) = 13x^2 + (m - 9)x - n \]
4. Dividimos \( 13x^2 \) por \( x^2 \) para obtener el siguiente término del cociente: \( 13 \).
5. Multiplicamos \( 13 \) por \( x^2 - 2x + 3 \):
\[ 13(x^2 - 2x + 3) = 13x^2 - 26x + 39 \]
6. Restamos \( 13x^2 - 26x + 39 \) de \( 13x^2 + (m - 9)x - n \):
\[ (13x^2 + (m - 9)x - n) - (13x^2 - 26x + 39) = (m + 17)x - (n + 39) \]
Para que el residuo sea cero, se deben cumplir las siguientes ecuaciones:
\[ m + 17 = 0 \]
\[ n + 39 = 0 \]
### Solucionamos las ecuaciones:
\[ m + 17 = 0 \implies m = -17 \]
\[ n + 39 = 0 \implies n = -39 \]
Por lo tanto, los valores de \( m \) y \( n \) son \( m = -17 \) y \( n = -39 \).
### Resumen:
- El valor de \( m \) es \(-17\).
- El valor de \( n \) es \(-39\).
Explicación paso a paso:
