La cantidad de cable necesario es de aproximadamente 111.6 pies
Siendo correcta la opción d
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Según la figura que se adjunta vemos que el poste se ha inclinado de su posición original.
Luego hallamos el valor del ángulo B para conocer la nueva inclinación del poste con respecto al suelo
Cuando el poste no estaba inclinado formaba un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al inclinarse el poste 15° de su posición original, debemos sumar la inclinación de 15° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical anterior de 90°
Teniendo:
[tex]\large\boxed {\bold { B= 90^o + 15^o = 105^o }}[/tex]
Por tanto el poste tiene ahora una inclinación de 105° con respecto al suelo
Conocida la inclinación del poste:
Se representa la situación en un triángulo no rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la longitud del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la distancia desde la base del poste hasta cierto punto en el suelo -ubicado en A- donde se amarrará dicho poste. Donde estas dos longitudes forman un ángulo de 105°- el cual es el ángulo de inclinación del poste con el suelo-. Teniendo finalmente el lado AC (x=b) que define la cantidad de cable necesaria para sostener al poste, la cual es nuestra incógnita
Donde se pide calcular la cantidad de cable de acero necesario para amarrar el poste
Para determinar dicha longitud vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Longitud del Poste }[/tex]
[tex]\bold{\overline{BC}=a= 30\ pies }[/tex]
[tex]\large\textsf{Distancia desde base Poste hasta A }[/tex]
[tex]\bold{\overline{AB}=c=100\ pies }[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Inclinaci\'on del Poste }[/tex]
[tex]\bold{B =105^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Hallamos la cantidad de cable necesario para amarrar el poste
La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AC (b=x)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud del cable necesario para sostener al poste
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos( B ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = (30 \ pies)^{2} + ( 100 \ pies)^{2} - 2 \cdot 30 \ pies \cdot 100 \ pies \cdot cos(105^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = 900 \ pies^{2} + 10000 \ pies^{2} - 6000 \ pies^{2} \cdot cos(105^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} =10900\ pies^{2} - 6000\ pies^{2} \cdot -0.258819045103 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = 10900\ pies^{2} +1552.914270618 \ pies^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {b^{2} =12452.914270618 \ pies^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ b ^{2} } = \sqrt{ 12452.914270618 \ pies^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {b = \sqrt{ 12452.914270618 \ pies^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {b \approx 111.5926 \ pies }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Por imposici\'on de enunciado: }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b \approx 111.6 \ pies}}[/tex]
La cantidad de cable de acero necesario para amarrar el poste es de aproximadamente 111.6 pies
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
