Explicación paso a paso:
Para determinar si las funciones \( f(x) = px + 1 \) y \( g(x) = qx - 1 \) pueden ser inversas, debemos ver si \( f(g(x)) = x \) y \( g(f(x)) = x \).
Comprobamos \( f(g(x)) \):
\[ f(g(x)) = f(qx - 1) \]
Sustituimos \( g(x) \) en \( f(x) \):
\[ f(qx - 1) = p(qx - 1) + 1 \]
\[ f(g(x)) = pqx - p + 1 \]
Para que \( f \) y \( g \) sean funciones inversas, \( f(g(x)) \) debe ser igual a \( x \):
\[ pqx - p + 1 = x \]
De esta ecuación, para que se cumpla para cualquier \( x \):
\[ pq = 1 \]
\[ -p + 1 = 0 \]
De la segunda ecuación obtenemos:
\[ p = 1 \]
Si \( p = 1 \), entonces \( pq = 1 \) implica:
\[ 1 \cdot q = 1 \]
\[ q = 1 \]
Comprobamos \( g(f(x)) \):
\[ g(f(x)) = g(px + 1) \]
Sustituimos \( f(x) \) en \( g(x) \):
\[ g(px + 1) = q(px + 1) - 1 \]
\[ g(f(x)) = qpx + q - 1 \]
Para que \( f \) y \( g \) sean funciones inversas, \( g(f(x)) \) debe ser igual a \( x \):
\[ qpx + q - 1 = x \]
De esta ecuación, para que se cumpla para cualquier \( x \):
\[ qp = 1 \]
\[ q - 1 = 0 \]
De la segunda ecuación obtenemos:
\[ q = 1 \]
Si \( q = 1 \), entonces \( qp = 1 \) implica:
\[ p \cdot 1 = 1 \]
\[ p = 1 \]
Para que las funciones \( f(x) = px + 1 \) y \( g(x) = qx - 1 \) sean inversas, tanto \( p \) como \( q \) deben ser igual a 1. Sin embargo, si \( p = 1 \) y \( q = 1 \), entonces las funciones se simplifican a:
\[ f(x) = x + 1 \]
\[ g(x) = x - 1 \]
Estas funciones no son inversas entre sí, ya que la función inversa de \( f(x) = x + 1 \) sería \( f^{-1}(x) = x - 1 \) y no coincide con \( g(x) = x - 1 \).
Por lo tanto, es imposible que las funciones \( f(x) = px + 1 \) y \( g(x) = qx - 1 \) sean inversas entre sí, independientemente del valor de \( p \) o \( q \).
