Explicación paso a paso:
Ejercicio 1:
a) Desplazamiento de la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5
El desplazamiento de la partícula en un intervalo de tiempo se calcula como la integral de su velocidad en ese intervalo. En este caso, la velocidad de la partícula es v(t) = t^3 - 10t^2 + 29t - 20 pies por segundo. Por lo tanto, el desplazamiento de la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5 se calcula como:
∫(t^3 - 10t^2 + 29t - 20) dt
Este cálculo se puede realizar utilizando una calculadora o un software de matemáticas. El resultado es:
525 pies
b) Distancia total recorrida por la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5
La distancia total recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo se calcula como la suma de los valores absolutos de su desplazamiento en ese intervalo. En este caso, el desplazamiento de la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5 es de 525 pies. Por lo tanto, la distancia total recorrida por la partícula en ese intervalo es también de 525 pies.
Solución:
a) El desplazamiento de la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5 es de 525 pies.
b) La distancia total recorrida por la partícula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5 es de 525 pies.
Ejercicio 2:
a) Cálculo de ∫(f(x))dx
Para calcular la integral de la función f(x) en el intervalo [1, 7], se puede utilizar el método de trapecios. Este método consiste en aproximar la integral mediante una suma de áreas de trapecios. En este caso, se pueden utilizar 6 trapecios de igual ancho. El ancho de cada trapecio es:
(7 - 1) / 6 = 1
La altura de cada trapecio se calcula evaluando la función f(x) en los extremos del intervalo de cada trapecio. Las alturas de los trapecios son:
f(1) = 4
f(2) = 2
f(3) = 1
f(4) = 2
f(5) = 3
f(6) = 4
El área de cada trapecio se calcula como:
(ancho * (altura1 + altura2)) / 2
Las áreas de los trapecios son:
(1 * (4 + 2)) / 2 = 3
(1 * (2 + 1)) / 2 = 1.5
(1 * (1 + 2)) / 2 = 1.5
(1 * (2 + 3)) / 2 = 2.5
(1 * (3 + 4)) / 2 = 3.5
(1 * (4 + 4)) / 2 = 4
La suma de las áreas de todos los trapecios es una aproximación de la integral de la función f(x) en el intervalo [1, 7]. En este caso, la suma de las áreas de los trapecios es:
3 + 1.5 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 4 = 16
Por lo tanto, una aproximación de la integral de la función f(x) en el intervalo [1, 7] es de 16 unidades cuadradas.
b) Determinación del valor medio de f en el intervalo [1, 7]
El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a, b] se calcula como la integral de la función en ese intervalo dividida por la longitud del intervalo. En este caso, el valor medio de la función f(x) en el intervalo [1, 7] se calcula como:
∫(f(x))dx / (b - a)
Este cálculo ya se realizó en la parte a) de la solución. El resultado es:
16 / (7 - 1) = 2.29 unidades cuadradas por unidad de x
Solución:
a) Una aproximación de la integral de la función f(x) en el intervalo [1, 7] es de 16 unidades cuadradas.
b) El valor medio de la función f(x) en el intervalo [1, 7] es de
